Шуваловская премия - 2016: О.В.Шестаков

Томографические методы реконструкции изображений получили широкое распространение в самых разнообразных областях. На качество восстановленных изображений влияют ошибки, возникающие из-за неполноты данных и невозможности точно зарегистрировать проекции. Это приводит к необходимости статистического описания томографических изображений и использования методов регуляризации при их восстановлении. В ряде томографических задач вероятностно-статистическая постановка возникает не только из-за наличия случайных шумов, но и в силу стохастической природы самого объекта изучения. В таких задачах цель заключается в нахождении вероятностных характеристик случайной функции, описывающей объект.

Разработаны методы вероятностного анализа характеристик случайных функций при наличии информации о вероятностных характеристиках интегральных преобразований радоновского типа и изучены свойства статистических оценок погрешностей методов подавления шума в проекционных данных.

Доказана асимптотическая нормальность оценок среднеквадратичного риска при удалении шума с помощью пороговой обработки вейвлет-коэффициентов функции сигнала при различных стратегиях выбора порога.

Доказана асимптотическая нормальность оценок среднеквадратичного риска при удалении шума с помощью пороговой обработки коэффициентов разложения функции в задачах обращения линейных однородных операторов и преобразования Радона.

Получены оценки скорости сходимости в предельных теоремах для оценок среднеквадратичного риска.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют анализировать качество методов подавления шума только на основе наблюдаемых данных, делать статистически значимые выводы о величине погрешностей и строить для них доверительные интервалы. Полученные результаты можно использовать как при прямом наблюдении сигнала (изображения) так и при решении обратных статистических задач, возникающих в оптике, астрономии, вычислительной томографии и других областях.

Получены количественные оценки точности реконструкции функции по конечному числу проекционных данных радоновского типа. Данные результаты дают возможность количественно оценивать погрешность, возникающую из-за неполноты данных, в различных томографических экспериментах (рентгеновская томография, эмиссионная томография, дифракционная томография, теормоаустическая томография, радиолокация и т.п.)

Разработаны методы реконструкции вероятностных характеристик случайных функций по вероятностным характеристикам проекционных данных радоновского типа. Данные результаты дают возможность исследовать характеристики «изменчивости» стохастических объектов в томографических экспериментах, основанных на обращении интегральных преобразований радоновского типа.

Результаты диссертации носят теоретический характер, однако они могут быть использованы для решения различных практических задач анализа и обработки сигналов и изображений, в частности, для оценки качества шумоподавления в сигналах и томографических изображениях и определения необходимого числа томографических проекций. Методы анализа стохастических томографических моделей представляют ценность для областей, в которых объект исследования описывается случайным процессом (например, физика плазмы, газовая динамика, некоторые проблемы микробиологии).