Шуваловская премия - 2017: Д.П.Ильютко, И.М.Никонов

Основной объект исследования – это диаграммы узлов и их приложение в теории графов. Теория узлов, как и теория графов, в настоящее время является активно развивающейся областью математики. Основная задача теории узлов – это классификация узлов.

В цикле работ найдено новое представление узла: узел – это класс эквивалентности двухцветных диаграмм (существуют две точки на диаграмме, разбивающие её на две кривые, и в каждом перекрёстке пересекаются обе кривые) по движениям. В этом случае узел можно закодировать словом длиной, равной количеству перекрестков, а не удвоенному числу, как в случае гауссовых диаграмм.

Важной вехой в маломерной топологии явилось возникновение теории виртуальных узлов. Построен новый объект, который, в некотором роде, обобщает виртуальный узел. Каждой гауссовой диаграмме узла ставится в соответствие её граф пересечений. Переписывая движения на гауссовых диаграммах на язык графов пересечений и рассматривая все простые графы, получается граф-зацепление и переход от топологического объекта, узла, к комбинаторному объекту, графу. В работах развита теория граф-зацеплений: показана эквивалентность альтернативных подходов к определению граф-зацеплений; построены различные инварианты, включая полином Джонса и гомологии Хованова; найдены достаточные условия минимальности диаграмм; построены примеры нереализуемых граф-зацеплений со свойствами, не имеющими место в теории узлов.

Другим направлением исследования являлось изучение чётности – оснащений диаграмм узлов, согласованных с движениями Рейдемейстера. Введение дополнительной структуры на диаграммах позволяет строить более тонкие инварианты узлов и исследовать вопросы, связанные с минимальностью диаграмм и сложностью узлов. В работах получена классификация чётностей и слабых чётностей для узлов на заданной двумерной поверхности и для граф-зацеплений; построена модификация гомологий Хованова для узлов на поверхности; построен аналог полинома Джонса для виртуальных узлов, принимающий значения в линейных комбинациях графов.

В рамках диаграммного подхода найден критерий планарности для оснащённых графов, где в качестве оснащения рассматривается (неориентированный) циклический порядок рёбер в вершине.

Один из важнейших инвариантов узлов – это инварианты Васильева (инварианты конечного порядка). Инварианты Васильева тесно связаны с алгеброй хордовых диаграмм, где умножение задается связной суммой. При изучении инвариантов Арнольда погружённых кривых и инвариантов лежандровых узлов в двумерных поверхностях возникают оснащённые хордовые диаграммы. В цикле работ построен инвариант, показывающий, что связная сумма оснащённых хордовых диаграмм не является корректно определённой операцией по модулю обобщённых четырёхчленных соотношений, т.е. алгебра хордовых диаграмм напрямую не обобщается на оснащённый случай.