Шуваловская премия - 2018: Н.Ю.Ероховец

Основной объект исследования – семейства комбинаторных простых выпуклых трёхмерных многогранников, изучение которых является актуальным в связи с современными задачами химии, квантовой физики и нанотехнологий. Эти многогранники играют фундаментальную роль в ряде задач алгебраической топологии, гиперболической геометрии и комбинаторики. В центре внимания развиваемой теории – построение семейств многогранников при помощи заданного набора операций и небольшого набора начальных многогранников. Основным инструментом являются k-пояса – циклические наборы из k граней с пустым общим пересечением, в которых смежными являются только последовательные грани. Классический результат В.Эберхарда (1891) показывает, что каждый простой трёхмерный многогранник получается из тетраэдра операциями срезки вершины, ребра или пары смежных рёбер.

В цикле работ Н.Ю.Ероховца развиты результаты А.Котцига (1969) и Д.Барнетта (1977) о построении флаговых многогранников и многогранников Погорелова. Им доказано, что для флаговых многогранников достаточно срезок рёбер и пар смежных рёбер, а для многогранников Погорелова – срезок пар смежных рёбер и подразбиений 5-угольника, причём всякий многогранник, кроме k-бочки, получается только из 5- или 6-бочки, которые являются фуллеренами (Нобелевская премия по химии 1996 г.), то есть имеют только 5- и 6-угольные грани. Каждый фуллерен является многогранником Погорелова. Доказано, что любой фуллерен, кроме додекаэдра и семейства (5,0)-нанотрубок, получается из 6-бочки при помощи срезок пар смежных рёбер всего 4 типов так, что в процессе возникают только фуллерены и многогранники Погорелова с дополнительной 7-угольной гранью. Получен важный результат алгебраической топологии о том, что при гомоморфизме градуированных колец квазиторических многообразий над многогранниками Погорелова множество канонических образующих биективно отображается в множество канонических образующих с точностью до знака. В работе филдсовского лауреата У.Тёрстона (1998) дана параметризация пространства всех простых трёхмерных многогранников с не более чем шестиугольными гранями. Н.Ю.Ероховцом получена полная классификация фрагментов таких многогранников. Это позволило предъявить новый алгоритм перечисления фуллеренов.