Шуваловская премия - 2021: В.В.Ведюшкина

В самые последние годы российскими учёными, в том числе, совместно с зарубежными коллегами, были получены прорывные результаты по теории интегрируемых биллиардов. В их число, безусловно, входят два следующих:

1. доказательство А.А.Глуцюком, А.Е.Мироновым и М.Бялым, В.Ю.Калошиным и А.Соррентино ряда формулировок гипотезы Биркгофа о неинтегрируемости биллиардов на плоских столах вне нескольких узких классов таких столов (софокусных и круговых);

2. открытие В.В.Ведюшкиной «биллиардных книжек» – нового класса интегрируемых биллиардов на кусочно-плоских CW-комплексах специального вида – и доказательство, что класс интегрируемых биллиардов (включая книжки) станет «весьма широким» в классе всех интегрируемых гамильтоновых систем с невырожденными особенностями в смысле слоений на фазовых пространствах (равенство классов – гипотеза Фоменко о биллиардах).

«Биллиардные книжки» склеены из двумерных плоских столов интегрируемых биллиардов (т.е. ограниченных софокусными квадриками либо концентрическими окружностями и их радиусами) по общим дугам границы. Перестановки на ребрах – «корешках» книжки – задают переход шара с одного листа книжки на другой после удара о границу плоского куска. Конструкция хорошо комбинируется с уже известными: добавляется потенциал или магнитное поле. В диссертации:

– классифицированы «топологические биллиарды» (книжки, независимые циклы в перестановках которых являются транспозициями) в смысле комбинаторики их столов;

– для широкого набора книжек (в частности, всех топологических биллиардов) были вычислены их топологические инварианты Фоменко–Цишанга. Эти графы («молекулы») с числовыми метками классифицируют интегрируемые гамильтоновы системы c точностью до послойной гомеоморфности их слоений Лиувилля – замыканий почти всех их решений (фазовых траекторий). Если у двух систем разной природы совпадают инварианты в выбранной зоне энергии, то особенности их режимов движения в ней устроены одинаково;

– биллиардами промоделированы многие знаменитые системы из геометрии, математической физики и динамики твёрдого тела: волчки Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, системы Горячева–Чаплыгина–Сретенского и Клебша. Для ряда систем их слоение Лиувилля удалось реализовать системой с интегралом меньшей степени (вместо 3 или 4 – будет 2);

– алгоритмически построены биллиардные книжки, которые содержат произвольную наперёд заданную невырожденную особенность с периодическими траекториями. Такие особенности-атомы соответствуют вершинам молекул Фоменко–Цишанга и задают тип бифуркации регулярных торов Лиувилля;

– изучена топология трёхмерных поверхностей постоянной энергии для ряда систем биллиардов. Класс таких многообразий оказался не ограничен многообразиями Зейферта (как и для интегрируемых систем, найдены многообразия Вальдхаузена, но не Зейферта);

– любая числовая метка реализована в инварианте подходящего биллиарда.

Доказан ряд положений гипотезы А.Т.Фоменко: топология биллиардов оказалась гораздо разнообразнее, чем ожидалось. Их динамика более наглядна, чем у систем механики, а вычисление инварианта по виду стола можно автоматизировать.