МГУ–1999: Механико-математический факультет

Математика и механика в Московском университете. Современные математику и механику объединяет как то, что они стоят у истоков точных наук, так и методы решения проблем. Эта их близость позволила соединить вместе образование математиков и механиков на механико-математическом факультете Московского университета имени М.В. Ломоносова.

Математика представляет собой основу фундаментальных исследований в естественных и гуманитарных науках. В силу этого значение ее в общей системе человеческих знаний постоянно возрастает. Математические идеи и методы проникают в управление весьма сложными и большими системами разной природы: полетами космических кораблей, отраслями промышленности, работой обширных транспортных систем и других видов деятельности. В математике возникают новые теории в ответ на запросы практики и внутреннего развития самой математики. Приложения различных областей математики стали неотъемлемой частью науки, в том числе: физики, химии, геологии, биологии, медицины, лингвистики, экономики, социологии и др.

Фундаментальность механики проистекает из того, что она является одной из главных научных основ техники. На базе теоретического и экспериментального анализа явлений она находит и разрабатывает основные законы движения тел, частиц и масс, изучает механические свойства различных сред, выражает эти законы и свойства в виде математических соотношений, формулирует наиболее общие постановки соответствующих задач движения.

Механико-математический факультет МГУ один из крупнейших центров в мире в области математики и механики. Глубокие теоретические и  экспериментальные исследования ученых факультета оказали существенное влияние на развитие современных отраслей науки и техники. Их перу принадлежат сотни монографий, учебников и учебных пособий, пользующихся широкой известностью как в нашей стране, так и за рубежом.

Факультет готовит специалистов широкого профиля в области математики, механики и прикладной математики, владеющих как теоретическими знаниями, так и техникой научного эксперимента. Имеющие высшее образование и желающие получить более углубленные знания по математике могут учиться на «инженерном потоке» факультета.

Сотни специальных курсов по новейшим вопросам математики и механики, читаемых крупнейшими учеными, и семинаров под их руководством обеспечивают студентам возможность углубленного изучения и последующей самостоятельной работы в любом из направлений математики или механики.

На факультете имеется два отделения: отделение математики и отделение механики. Отделение механики располагает большой материальной базой и возможностями Научно-исследовательского института механики Московского университета, который оснащен разнообразным научным и учебным оборудованием, позволяющим ставить сложные современные эксперименты.

Кафедры и лаборатории факультета ведут научные разработки на новейших ЭВМ, используя современные информационные технологии.

Скажем теперь несколько слов об истории создания факультета. Со дня своего основания в 1755 г., университет имел курсы по математике, хотя механико-математический факультет как самостоятельное подразделение появился только в 1933 г. Он состоял из трех отделений: математики, механики и астрономии. Позже отделение астрономии перешло на физический факультет. В 1970 году из состава механико-математического факультета выделился факультет вычислительной математики и кибернетики. Исследовательскую и теоретическую работу в области математики и механики вели такие известные профессора, как Д.М. Перевощиков, Н.Д. Брашман, П.Л. Чебышёв, Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин, Н.Н. Лузин, П.С. Александров, А.Н. Колмогоров, С.Л. Соболев, И.Г. Петровский, М.А. Лаврентьев, М.В. Келдыш.

На факультете обучается около 2000 студентов и 450 аспирантов. В настоящее время в составе факультета около 350 профессоров, доцентов, ассистентов и научных сотрудников. Несколько десятков докторов наук, профессоров и ведущих научных сотрудников из различных институтов РАН работают по совместительству на факультете.

 

Отделение математики объединяет в себе кафедры математического анализа; теории функций и функционального анализа; дифференциальных уравнений; высшей геометрии и топологии; общей топологии и геометрии; теории вероятностей; математической статистики и случайных процессов; математической логики и теории алгоритмов; высшей алгебры; теории чисел; вычислительной математики; дифференциальной геометрии и приложений; дискретной математики; общих проблем управления; математической теории интеллектуальных систем Кабинет истории и методологии математики и механики; кабинет методики преподавания элементарной математики. Лаборатории теории вероятностей; математико-экономического моделирования; больших случайных систем; математической статистики; логических проблем информатики; вычислительных методов; компьютерного моделирования; компьютерных методов в естественных и гуманитарных науках.

Отделение механики содержит в себе кафедры теоретической механики; гидромеханики; аэромеханики и газовой динамики; прикладной механики и теории управления; теории упругости; теории пластичности; механики композиционных материалов; газовой и волновой динамики; вычислительной механики. Лабораторию волновых процессов.

На факультете имеется отдел прикладных исследований по математике и механике, включающий в себя лаборатории: прикладного математического анализа; теоретической кибернетики; обеспечения имитационных динамических систем; управления и навигации; деформируемых сред.

Выпускники при успешном окончании соответствующего отделения факультета получают квалификацию специалиста по следующим специальностям: «Математика. Прикладная математика», «Механика. Прикладная математика». Обучение по этим двум специальностям общее в течение двух лет. В указанный период обучения студент получает фундаментальное базовое образование, которое включает следующие дисциплины: математический анализ, алгебра, аналитическая геометрия, линейная алгебра и геометрия, введение в математическую логику, комплексный анализ, теория функций и функциональный анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей, работа на ЭВМ и программирование, практикум работы на ЭВМ, иностранный язык, политическая история XX века, философия, физическое воспитание.

На третьем году обучения происходит распределение студентов по кафедрам для более узкой специализации. В этот период изучаются следующие дисциплины

a) по отделению математики: теория функций и функциональный анализ, уравнения с частными производными, дифференциальная геометрия и топология, теория чисел, математическая статистика, теория случайных процессов, вариационное исчисление и оптимальное управление, методы вычислений, практикум работы на ЭВМ, история и методология математики; четыре курса естественнонаучного и прикладного содержания (теоретическая механика, механика сплошной среды, математическая логика, прикладные проблемы алгебры, приложения теории функций и функционального анализа, дискретная математика, методы прикладных вычислений, прикладные проблемы геометрии, современные проблемы математической физики, теория вероятностей и математическая статистика), дисциплины специализации (полугодовой спецкурс по выбору кафедры, годовой спецкурс по выбору студента и два годовой спецсеминара по выбору кафедры), иностранный язык, гуманитарные дисциплины (по выбору студента из списка, утверждаемого Ученым Советом факультета в объеме четырех полуторагодовых курсов),

б) по отделению механики: функциональный анализ, уравнения математической физики, теория функций комплексного переменного, теория вероятностей и случайные процессы, методы вычислений, вычислительные машины и программирование,  история и методология механики; теоретическая механика, механика сплошной среды, физико-механический практикум, механика управляемых систем, физика, спецкурс по физике, дисциплины специализации (полугодовой спецкурс по выбору кафедры, годовой спецкурс по выбору студента и два годовой спецсеминара по выбору кафедры), иностранный язык, гуманитарные дисциплины (по выбору студента из списка, утверждаемого Ученым Советом факультета в объеме четырех полуторагодовых курсов).

В заключение отметим, что в Московском университете сложились прекрасные научные школы и традиции преподавания математики и механики, выдвинувшие отечественную науку и образование на передовые позиции в мире. Механико-математический факультет МГУ постоянно и целеустремленно стремится сохранить и приумножить эти традиции.

 

 

Юбилеи.  23 апреля исполнилось 90 лет со дня рождения основателя и первого заведующего кафедрой газовой и волновой динамики Халилы Ахмедовича Рахматулина (1909–1988), Героя Социалистического Труда, лауреата Государственных премий СССР, премий Совета Министров СССР, Государственной премии УзССР им. Бируни, премии им. М.В.Ломоносова, Заслуженного деятеля науки и техники РСФСР и УзССР, академика АН УзССР – выдающегося учёного, талантливого педагога и организатора науки.

 

9 декабря исполнилось 70 лет со дня рождения заведующего кафедрой газовой и волновой динамики академика РАН Евгения Ивановича Шемякина, лауреата Государственной премии СССР, Заслуженного профессора Московского университета. Этому событию был посвящён семинар, проведённый в НИИ механики МГУ.

 

19 ноября исполнилось 50 лет со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора кафедры теории функций и функционального анализа Андрея Андреевича Шкаликова. Он работает на кафедре с 1976 г., профессором – с 1992 г. Докторскую диссертацию защитил в 1987 г. А.А.Шкаликов является крупным специалистом в области теории операторов, дифференциальных уравнений и математической физики, является автором 70 научных работ и монографии. Им решены проблемы, которые были известны специалистам как нерешенные в течение десятков лет, в частности, обоснование гипотезы Мандельштама о существовании удовлетворяющих принципу излучения на бесконечности решений волноведущих систем, проблема базисности собственных функций для уравнения Зоммерфельда-Орра. Основное научное направление, созданное им, может быть названо так: построение операторных моделей для задач математической физики и их спектральный анализ. Эта развиваемая им и его учениками тема получила поддержку Международного научного фонда Сороса и РФФИ. А.А. Шкаликов является автором 80 научных работ и монографии. Его работы получили международное признание. В последние годы он приглашался в качестве пленарного докладчика на конференции в Амстердаме, Вене, Виннипеге и Калгари (Канада), Регенсбурге, Потсдаме, Лейпциге, Гамбурге (Германия), Брюсселе, Лондоне и пр. Он является членом редакций математических журналов: «Труды Московского Математического общества», «Математические заметки», «Mathematische Nachrichten» (Германия), «Фундаментальная и прикладная математика» (зам. главного редактора). С 1981 г. А.А. Шкаликов является одним из основных организаторов ежегодной международной конференции им. И.Г. Петровского, получившей широкое признание в России и за рубежом. С 1991 г. он был зам. председателя оргкомитета этой конференции.

В научной деятельности А.А. Шкаликова можно выделить следующие основные направления:

1. Им построена спектральная теория краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих спектральный параметр как в уравнении так и в граничных условиях. (впоследствии вместе с учениками теория была перенесена на задачи с частными производными). В работах, продолжающих эту тематику, построенные линеаризаторы и пространства носят название линеаризаторов и пространств Шкаликова. За цикл работ по этой теме в 1983 г. он был удостоен премии Московского Комсомола.

2. Построены абстрактные операторные модели и проведено их исследование для спектральных задач, возникающих при разделении переменных из эллиптических уравнений (теория эллиптических операторных пучков). В рамках созданной теории, в частности, было проведено обоснование гипотезы Мандельштама о существовании специального вида решений для волноведущих систем (первые работы по этой теме были выполнены совместно с А.Г. Костюченко).

3. Построена теория гиперболических и эллиптико-гиперболических пучков. Для случая разделенных спектральных зон теория была создана в работах П. Даффина, М.Г. Крейна и Г. Лангера. А.А. Шкаликов развил теорию для соприкасающихся спектральных зон.

4. Заложены основы активно развивающейся в настоящее время теории матричных операторов (первая работа совместно с Г. Лангером и Р. Менникеном). Получены новые результаты о существенном спектре таких операторов и существовании у них инвариантных подпространств специального вида, что имеет важные приложения в задачах математической физики (в частности, для оператора Навье-Стокса и задачи многих тел).

5. Построена теория диссипативных пучков операторов и даны ее приложения для диссипативных спектральных задач, возникающих в теории упругости и гидромеханике. Получены результаты об устойчивости и вычислении индекса неустойчивости для уравнений в гильбертовом пространстве (формулы являются новыми и для систем с конечными степенями свободы).

6. В последние годы им активно развивается теория операторов в пространстве с индефинитной метрикой с приложениями к задачам теории управления и индефинитной проблеме Штурма-Лиувилля.

А.А. Шкаликов ведет большую педагогическую и научно-организационную работу. 11 его учеников защитили кандидатские диссертации. Им прочитано более 10 различных обязательных и специальных курсов. Широкой известностью пользуется его семинар в МГУ.

 

Научная и педагогическая деятельность кафедр и лабораторий.

Кафедра аэромеханики и газовой динамики. Кафедра образована в 1932 г. на механическом отделении университета. На кафедре работают 17 сотрудников: профессора В.Б. Баранов, К.В. Краснобаев, В.П. Стулов, В.Я. Шкадов; доценты С.И. Арафайлов, А.М. Головин, В.Д. Котёлкин, А.Н. Осипцов, Н.А. Остапенко, В.С. Потапов, Г.Д. Смехов; ассистенты В.А. Васильев, В.В. Измоденов, Г.М. Сисоев; н.с. Я.Д. Янков, ст. лаборант Л.Н. Андреева. Заведующим кафедрой является акад. РАН Г.Г. Чёрный.

Научная работа на кафедре ведется как по традиционным направлениям, так и по темам, финансируемым грантами РФФИ. К традиционным относятся такие темы, как «Аэродинамика», «Динамика вязких жидкостей и газов», «Численные методы в механике жидкостей и газов». Так, руководитель гранта РФФИ проф. В.Я. Шкадов работает над темой «Нелинейное развитие периодических и уединенных волн при переходе к турбулентности в течениях вязкой жидкости с поверхностями раздела».

В 1999 г. сотрудники кафедры участвовали в 8 российских и в 11 международных конференциях и симпозиумах, сделано и опубликовано 27 докладов, более 15 статей вышло в отечественных и зарубежных журналах.

Ниже приводятся некоторые новые научные результаты, полученные в 1999 г.

Аналитическим путём изучены случаи неавтомодельного взаимодействия ударных волн между собой и с контактной поверхностью при наличии области дозвукового течения;

Дана систематизация и обработка расчётов по обтеканию однородным потоком газа областей энерговыделения и помещенных в их следе других тел;

Проведено сравнение решений задачи об обтекании сверхзвуковым потоком треугольного крыла при углах атаки, больших n/2, с экспериментальными данными;

В рамках вариационной задачи о несущих формах максимального аэродинамического качества построены решения об оптимальных формах волнолёта на плоских ударных волнах. При этом обнаружен новый тип стационарного взаимодействия ударных волн с пограничным слоем в конических течениях;

Построены решения о форме пространственных тонких тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды. Показано, что при скоростях внедрения порядка ста метров в секунду пространственные тела обладают значительным преимуществом в глубине проникания по сравнению с эквивалентными осесимметричными телами;

Продолжены исследования процессов дробления и абляции метеорных тел в атмосфере. Анализ траекторий крупных болидов показал, что важным является влияние абляции, а заметной роли дробления не наблюдалось.

Проведён анализ эффектов неизотермичности и установления ионизационного баланса в частично ионизованной плазме, образующейся при течении водорода в окрестностях горячих звезд. Выявлены особенности роста малых возмущений и оценена скорость нарастания волн в межзвездной среде;

Продолжались параметрические исследования газо-кинетической модели взаимодействия солнечного ветра с локальной межзвездной средой. С целью определить такие плохо измеряемые параметры локальной межзвездной среды, как например, концентрация протонов, были сопоставлены теоретические результаты с экспериментами,

проведенными на космических аппаратах;

Разрабатывались методы расчёта трёхмерной модели взаимодействия солнечного ветра с межзвёздной средой, учитывающие неодномерность солнечного ветра и межзвездное магнитное поле;

Выполнено численное моделирование взаимодействия комплекса ударная волна-фронт ионизации с неоднородной межзвёздной средой. В расчётах использовались специальные разностные схемы с применением адаптивных сеток, а также преобразования координат, обеспечивающих повышенную точность вычислений.

Проведён цикл исследований гидродинамической неустойчивости и перехода к турбулентности в течениях с границами раздела и зонами отрыва. Открыто двухпараметрическое многообразие нелинейных регулярных волн в стекающих пленках, включающее как гармонические возмущения, так и уединенные волны-солитоны. Установлено, что «притягивающими» свойствами обладают волны с наибольшей фазовой скоростью и наибольшей амплитудой при любых начальных состояниях волновой поверхности. Открыты новые методы линейной и нелинейной неустойчивости в закрученных течениях между вращающимися цилиндрами и в трубах;

Изучено влияние внешних массовых сил и поверхностно-активных веществ на неустойчивость свободных поверхностей. Полученные результаты позволяют предложить процедуру численных экспериментов для определения параметров волн в пленках вязкой жидкости;

Разработаны эффективные численные методы решения уравнений Навье-Стокса в задачах о неустойчивости неоднородных начальных состояний. Алгоритмы теории Флоке реализованы для течений слоёв жидкости на колеблющейся поверхности и в зазоре между цилиндрами при их осциллирующем вращении. Метод установления применен для анализа развития вихревых структур за обтекаемым цилиндром при вращательных колебаниях поверхности;

Разработан алгоритм численного моделирования конвекции мантии Земли с учётом её двухслойного строения. Исследована динамика всплытия крупных фрагментов «лёгкого» вещества (химического происхождения), инжектируемых в мантию на границе с ядром. Найден результат по дроблению струй на внутримантийной границе, т.е. на глубине порядка 670 км.

Предложен метод получения однородной оксидной плёнки на поверхности металла и условия его воспламенения;

Рассчитаны механические напряжения в оксидной плёнке, время существования режима защитного окисления и условия перехода к режиму

разрушающего окисления;

В условиях тяжёлой запроектной аварии на ядерном реакторе исследуется возможность воспламенения твэлов при различных способах учёта скорости выделения тепла в результате пароциркониевой реакции окисления.

Учебная работа кафедры состоит как в подготовке к выпуску студентов и аспирантов по научному профилю кафедры, так и в участии в общеобразовательном цикле обучения на механико-математическом факультете.

По профилю кафедры читается 16 специальных курсов и проводится 6 специальных семинаров. Кроме того, кафедра обеспечивает чтение лекций проведение семинаров по общему курсу «Механика сплошной среды» на II и III курсах факультета, а также проводит совместно с НИИ механики МГУ общий и специальный практикум по аэромеханике и газовой динамике для студентов III и IV курсов отделения механики.

Кафедра является базовой для подготовки специалистов Учебно-научного центра «Современные проблемы механики сплошной среды» и принимает участие в работах по ФЦП «Интеграция», в связи с чем студенты кафедры регулярно получают надбавки к стипендии.

В 1999 г. кафедра совместно с Институтом проблем механики РАН и Институтом прикладной математики РАН участвовала в проведении международной конференции «Прогресс в космической газовой динамике». Председателем оргкомитета является проф. К.В. Краснобаев. На конференции были представлены результаты исследований газо-кинетической модели взаимодействия солнечного ветра с межзвездной средой, созданной проф. В.Б. Барановым с сотрудниками. Проблемы волновых движений межзвездной среды нашли отражение в докладе проф. К.В. Краснобаева.

 

Кафедра высшей алгебры (зав. чл.-корр. РАН А.И. Кострикин). Сотрудники кафедры ежегодно читают обязательные курсы высшей алгебры, линейной алгебры и геометрии, линейной алгебры для математиков-экономистов. А также ряд спецкурсов (некоторые из них – обязательные для определенных категорий студентов).

Работают семинары, некоторые из них традиционные. На кафедре специализируются многие студенты, как правило больше чем одна группа. Наиболее способные остаются в аспирантуре (количество колеблется около 20, но иногда бывает более 30).

Сотрудники кафедры разрабатывают несколько научных направлений – это группы и алгебры Ли, теория инвариантов, абстрактная теория конечных и бесконечных групп, теория колец, алгебраическая геометрия, коммутативная и гомологическая алгебра.

Среди результатов, полученных в 1999 г. важнейшие следующие. Классифицированы простые алгебры Ли малой размерности над полем характеристики 3, изучены мономиальные представления разрешимых групп, исследована асимптотика поведения коразмерностей для ассоциативных и неассоциативных алгебр, а также уравнений над группами. Охарактеризованы функции на конечно порожденных группах, которые могут быть функциями длины. Получен ряд результатов о гиперболических (по Громову) группах. Исследованы автоморфизмы некоторых метабелевых групп. Решена проблема Радона-Рисса о представлениях мер. Описаны универсальные центральные расширения для супералгебр Ли. Описаны автоморфизмы алгебры квантовых многочленов. Найдена связь алгебры инвариантных дифференциальных операторов с алгеброй Пуассона. Построен пример бесконечно базируемого Т-идеала над полем ненулевой характеристики. Получены также многие другие результаты.

Члены кафедры принимают активное участие в конференциях – внутри российских и международных. В феврале было проведено расширенное заседание семинара по алгебре с приглашением ученых из-за рубежа, посвящённое 70-летию кафедры и её заведующего А.И. Кострикина.

 

Кафедра высшей геометрии и топологии. Кафедра высшей геометрии и топологии, одна из старейших кафедр механико-математического факультета МГУ, была основана в 1933 г. первоначально как кафедра высшей геометрии) выдающимся математиком, основателем Московской топологической школы, акад. АН СССР П.С. Александровым. Этой кафедрой П.С. Александров руководил с 1943 г. до самой своей смерти в 1982 г. В 1982 г. новым заведующим кафедрой стал акад. РАН С.П. Новиков. В 1983 г. в её состав была включена кафедра дифференциальной геометрии. В разные годы из состава кафедры высшей геометрии и топологии выделяются две новые кафедры: кафедра общей топологии и геометрии (1982) и кафедра дифференциальной геометрии и приложений (1992).

В настоящее время на кафедре работают 10 профессоров, 5 доцентов и 1 ассистент, в т.ч. 1 академик, 9 докторов наук и 6 кандидатов наук. На кафедре обучается 20 аспирантов.

Основой научных исследований, ведущихся на кафедре, является деятельность большого количества специальных семинаров кафедры, где и делают свои первые шаги в науке студенты и аспиранты кафедры. Продолжают работу семинар С.П. Новикова (в настоящее время активное участие в руководстве семинаром также принимают В.М. Бухштабер и А.Б. Шабат), семинар по алгебраической топологии под руководством М.М. Постникова, семинар под руководством В.М. Бухштабера, семинар по вычислительной геометрии и топологии (сорук. О.Р. Мусин и Т.Е. Панов), семинары руководимые А.С. Мищенко (совместно с Е.В. Троицким, В.М. Мануйловым и др.), семинар по алгебраическим пучкам и различным теориям гомологий, руководимый Е.Г. Скляренко. Работают также учебные спецсеминары по алгебраической топологии и различным разделам геометрии для студентов I–III курсов.

Сотрудники кафедры поддерживают активные научные контакты с различными научными центрами в России и за рубежом, в частности с Мерилендским и Калифорнийскими университетами (США), университетами г. Манчестер, Лафборо и Эдинбург (Великобритания), центром Теоретической физики Люмини (Марсель, Франция) и др.

Профессорами кафедры читаются обязательные курсы по аналитической геометрии, линейной алгебре и геометрии, классической дифференциальной геометрии, дифференциальной геометрии и топологии для студентов I–III курсов, по данным предметам сотрудниками кафедры проводятся семинарские занятия в группах.

В 1999 уч. г. сотрудники кафедры продолжали читать большое количество спецкурсов по различным темам.

 

Кафедра вычислительной математики (зав. акад. РАН Н.С. Бахвалов). Кафедра была воссоздана на механико-математическом факультете в 1982 г. С этого времени её возглавляет Н.С. Бахвалов. В настоящее время в составе кафедры 14 сотрудников, из них 2 профессора и 10 доцентов.

Кафедра обеспечивает преподавание обязательных курсов «Работа на ЭВМ и программирование» (I–II курсы), «Вычислительный практикум» (III–IV курсы), «Численные методы» (IV курс).

Кафедра проводит специализированную подготовку студентов (25–30 человек в год) и обеспечивает чтение ряда специальных лекционных курсов, среди которых в 1999 г. читались: «Метод конечных элементов», «Пространства Соболева и вариационные задачи», «Численный анализ и методы для уравнений Навье-Стокса», «Итерационные методы решения симметричных систем», «Базы данных», «Введение в операционную систему UNIX» «Корпоративные информационные системы» и др.

В 1999 г. была осуществлена коррекция и переиздание методических учебных пособий по курсам, «Численные методы» (И.О. Арушанян, Е.В. Чижонков), «Вычислительный практикум» (К.Ю. Богачёв), а также издано несколько новых учебных пособий по курсам, обеспечиваемым кафедрой, в частности, пособие по работе в операционной системе UNIX (В.М. Староверов, А.А. Корнев).

Научная деятельность кафедры связана с двумя основными направлениями:

Первое – это разработка и исследование вычислительных методов решения задач математической физики и механики, описываемых различными уравнениями в частных производных, в частности, уравнениями теории упругости, уравнениями Навье-Стокса, уравнениями Шрёдингера и др. Основной упор в этих исследованиях делается на построение оптимальных вычислительных алгоритмов, сохраняющих эффективность для широкого диапазона параметров исходной решаемой задачи.

Второе направление связано с разработкой и реализацией программных проектов, связанных с управлением вычислительными и техническими системами. Здесь можно упомянуть исследования по машинному зрению, проводимые совместно с сотрудниками Института механики МГУ. Другую область составляют разработки по машинной графике, распознаванию образов, базам данных и компьютерной безопасности.

В 1999 г. доц. Е.В. Чижонков защитил докторскую диссертацию по теме «Итерационные методы решения сеточных уравнений с седловым оператором».

В состав кафедры входят лаборатория вычислительных методов (зав. проф. А.В. Михалёв) и лаборатория компьютерного моделирования (зав. проф. Г.М. Кобельков).

В лаборатории вычислительных методов ведутся работы по направлениям: Информационные технологии в образовании. Подготовка компьютерных учебников; Теория алгебр и их представлений, удовлетворяющих тождественным соотношениям; Дифференциальная и компьютерная алгебра; Компьютерная графика и геометрия; Компьютерные технологии в редакционно-издательском деле; Развитие и поддержка единой информационной сети механико-математического факультета; Подготовка студенческой команды по программированию для для участия в олимпиадах.

Работают 17 научных сотрудников, из них 2 доктора и 15 кандидатов физико-математических наук.

Сотрудники лаборатории читают лекции и ведут практические занятия по курсу «Работа на ЭВМ и программирование» для студентов механико-математического факультета и по курсу «Основы программирования и ЭВМ» для студентов почвоведческого факультета. Подготовлены практикумы для поддержки читаемых курсов. Проводятся спецкурсы и спецсеминары «Информационная безопасность», «Компьютерная графика и геометрия», «Компьютерная алгебра», «Комбинаторная теория колец», «Дифференциальная алгебра» и «Издательские системы ТеХ».

К основным событиям в 1999 г. относятся: проведение исследований и разработка текстовых редакторов в ОС Windows. На основе контракта с корпорацией Intel проводятся исследования в области компьютерной геометрии. Разработаны и реализованы новые методы сжатия и визуализации текстурных изображений.

Исследования мл.н.с. К.А. Зубрилина в области структурной теории алгебр поддержаны стипендией им. Леонарда Эйлера Немецкого математического общества.

 

Кафедра газовой и волновой динамики (зав. акад. РАН Е.И.Шемякин). Кафедра работает в тесном содружестве с лабораторией динамики деформируемых сред (зав. доц. В.Ф. Максимов) и лабораторией волновых процессов (зав. проф. Н.Н. Смирнов).

Исполнилось 20 лет со дня создания лаборатории волновых процессов – отраслевой научно-исследовательской лаборатории при кафедре газовой и волновой динамики. Создана она была по инициативе двух выдающихся ученых Х.А. Рахматулина и Г.А. Тюлина (зав. 1979–1990). Среди её первых сотрудников – выпускники, а ныне сотрудники кафедры проф. Н.Н. Смирнов, лауреаты премии Совета Министров СССР проф. А.Б. Киселёв, вед.н.с. В.М. Гендугов и к.ф.-м.н. М.Н. Моргунов, доценты В.Р. Душин, Ю.Г. Филиппов. Научные традиции лаборатории продолжает молодежь. Так в 1999 г. кандидатскую диссертацию по проблемам фильтрации защитил мл.н.с. А.В. Кульчицкий.

О широте научных интересов сотрудников кафедры и лабораторий и направлениях подготовки специалистов позволяет судить список прочитанных в 1999 г. специальных курсов для студентов и аспирантов: «Распространение волн в сплошных средах» (акад. РАН Е.И. Шемякин и доц. Б.В. Куксенко), «Газовая и волновая динамика» и «Гиперзвуковое обтекание тел» (проф. А.Я. Сагомонян), «Динамика вязкого газа» (вед.н.с. В.М. Гендугов), «Неустановившиеся движения в сжимаемых средах» (проф. Н.Н. Смирнов), «Численное моделирование в газовой и волновой динамике» (проф. А.Б. Киселёв и доц. В.Р. Душин), «Термодинамика газовых потоков» (доц. И.Н. Зверев), «Динамика гибких связей» (доц. В.Ф. Максимов), «Групповой анализ дифференциальных уравнений» (ст.н.с. А.В. Аксёнов), «Основы физико-химической газовой динамики» (проф. В.Л. Ковалёв), «Методы расщепления в нестационарных задачах механики» (чл.-корр. РАН В.П. Коробейников). Работали спецсеминары для студентов III–V курсов, НИС кафедры и НИС аспирантов, а также пять НИС по различным направлениям механики.

Государственные научные стипендии для учёных России в 1999 г. получали профессора Н.Н. Смирнов, А.Б. Киселёв и В.Л. Ковалёв.

Сотрудники кафедры и лабораторий вели научную работу в 1999 г. по гранту поддержки ведущих научных школ России (рук. акад. РАН Е.И. Шемякин), 2 грантам по международной программе INTAS (рук. акад. РАН Е.И. Шемякин и проф. Н.Н. Смирнов), 8 грантам РФФИ (рук. акад. РАН Е.И. Шемякин, проф. Н.Н. Смирнов, проф. А.Б. Киселёв, проф. А.Я. Сагомонян и вед.н.с. В.М. Гендугов, проф. В.Л. Ковалёв, ст.н.с. А.В. Аксёнов, ст.н.с. Е.А. Сагомонян) и гранту по программе ФЦП «Интеграция» (рук. проф. В.Л. Ковалёв).

Сотрудники кафедры и лабораторий выступили в 1999 г. с докладами на многих международных и российских научных форумах. В частности, в рамках IV международного конгресса по индустриальной и прикладной математике (Эдинбург, Шотландия, 5–9 июля) ими были организованы два мини-симпозиума: симпозиум по проблемам математического моделирования образования и эволюции космического мусора и симпозиум по моделированию движения автотранспортных потоков (проф. Н.Н. Смирнов, проф. А.Б. Киселёв, ст.н.с. М.В. Юмашев и мл.н.с. В.Ф. Никитин).

 

Кафедра гидромеханики (зав. проф. В.П. Карликов). В настоящее время на кафедре работают 7 профессоров, 6 доцентов, 2 ассистента (кандидаты физико-математических наук) и старший лаборант. Активно сотрудничают с кафедрой её бывшие выпускники, ныне ведущие учёные НИИ механики МГУ. Работу кафедры возглавляет ученик Л.И. Седова Карликов Владимир Павлович.

Преподаватели кафедры читают общий курс «Механика сплошных сред» для студентов специальностей «механика» и «математика» и проводят по этому курсу семинарские занятия со студентами факультета. Курс лекций базируется на фундаментальном учебнике Л.И. Седова по механике сплошной среды, а в семинарских занятиях широко используется двухтомный задачник по механике сплошных сред, созданный на кафедре (1996). Для студентов-гидромехаников на кафедре читается обязательный курс «Гидромеханика». Кафедра обеспечивает также чтение общего курса «Теоретическая механика и гидромеханика», обязательного для всех студентов гидрометпотока географического факультета. Преподаватели кафедры ведут также занятия по общему и специальному физико-механическому практикуму.

На кафедре созданы 24 специальных курса, в числе которых теория размерностей и подобия в механике, теория поля, динамика течений вязкой жидкости, механика гравитирующего газа, теория ударных волн и волн детонации, теория волн на воде, биомеханика, магнитная гидродинамика, физико-химическая механика. Они читаются в разные учебные годы по мере потребности в зависимости от интересов студентов. Большое внимание уделяется работе с аспирантами кафедры. Курсовые, дипломные и аспирантские работы тесно связаны с тематикой научных исследований кафедры.

Научная работа кафедры в 1999 г. велась в рамках традиционной темы «Общая теория механики сплошной среды», посвященной созданию и использованию математических моделей для изучения актуальных проблем механики сплошной среды.

Основными направлениями исследований являлись:

– проблемы высокоскоростного стационарного и нестационарного движения тел в жидкости (кавитация; струйные течения);

– механика природных процессов (математическое моделирование процесса извержения вулканов, движения снежных лавин, селей, оползней и др.);

– исследование устойчивости состояний и течений сплошной среды;

– групповой анализ в задачах механики сплошной среды;

– ударные волны и их устойчивость в газах и в упругих средах;

– изучение поведения сплошных сред с учётом влияния электрических и магнитных полей (магнитная гидродинамика, электрогидродинамика;

– построение и исследование новых моделей сплошных сред с учётом анизотропии, поверхностного натяжения, а также сред с периодической структурой (композитов);

– биомеханика (математическое моделирование процессов, происходящих в живых организмах);

– проблемы теории относительности, гравитации и астрофизики;

Наиболее существенными результатами следует считать:

– установление неизвестных ранее закономерностей, наблюдающихся в природе и ряде технологических процессов нестационарных движений, существующих при фонтанировании жидкости из-под свободной поверхности, и создание на основе разработанной простой приближенной теории нового бесконтактного способа измерения расхода жидкостей в трубопроводах; получение формулы для энерговыделения на поверхности нейтронной звезды за счёт дисковой аккреции; проведение анализа эволюции равновесных состояний нейтронной звезды в двойной системе; выявление особенностей распространения гравитационных волн малой амплитуды на поверхности нематического жидкого кристалла с анизотропным поверхностным натяжением; развитие теории линии контакта трёх анизотропных сред с учетом вклада электромагнитного поля и собственной линейной плотности энергии; создание модели намагничивающейся изотропной упругой среды, позволившей вычислить эффективные значения модуля Юнга, зависящие от магнитного поля; исследование возможных режимов стационарных двуслойных течений газа в соплах и эжекторах; решение проблемы существования непрерывного решения задачи о структуре ударной волны в зависимости от значений диссипативных коэффициентов; проведение сравнительного анализа и численного исследования ряда математических моделей снежных лавин, выявивших степени согласованности их между собой; получение и обоснование уравнений, описывающих упругость пористых сред из несжимаемого материала; вывод приближенных формул для эффективных коэффициентов упругости и теплопроводности ряда композитов и определенного класса тонкостенных конструкций; вывод уравнений распространения волн ортогонально слоям в слоистых средах с учетом дисперсии и исследование дисперсионного члена; вывод условий неустойчивости фронта пламени в неоднородном потоке горючей смеси газов и определение собственных функций, соответствующих растущим колебаниям.

Сотрудники кафедры, работающие на полной ставке (10 человек), участвуют в выполнении научных программ 4 грантов РФФИ и гранта «Университеты России». В 1999 г. ими опубликованы 33 научные работы.

Проф. Н.Р. Сибгатуллин и доц. М.Э. Эглит продолжали работу в рамках международного научного сотрудничества с учеными Франции и Германии.

Доцентами А.Н. Голубятниковым и М.Э. Эглит в 1999 г. защищены докторские диссертации. Дипломы кандидата физико-математических наук получили молодые ассистенты кафедры А.Г. Калугин и С.Л. Толоконников.

Заведующему кафедрой В.П. Карликову присуждено в 1999 г. почётное звание «Заслуженный профессор МГУ».

Невосполнимой утратой для кафедры стала кончина в 1999 г. ее бессменного с 1953 г. руководителя – выдающегося учёного механика, Героя Социалистического Труда, академика РАН, Заслуженного профессора МГУ Леонида Ивановича Седова. Долгая необычайно плодотворная и обширная творческая научная и педагогическая деятельность Л.И. Седова определила пути развития многих разделов современной механики в нашей стране и за рубежом, способствовала существенному повышению качества университетского образования. Её итогом стало также создание огромной научной школы учёных-механиков, сохраняющих традицию высочайшей требовательности к уровню фундаментальных и прикладных научных исследований и преподавания, которой всегда следовал Л.И. Седов. Совсем недавно научная общественность России торжественно отметила 90-летний юбилей Л.И. Седова. В многочисленных публикациях и выступлениях были отмечены исключительные заслуги этого замечательного учёного, педагога и общественного деятеля.

 

Кафедра дискретной математики (зав. чл.-корр. РАН О.Б. Лупанов). Кафедра основана в 1981 г. Со дня основания кафедрой заведует О.Б. Лупанов. В составе кафедры работают профессора С.Б. Гашков, А.М. Зубков, О.М. Касим-Заде, Н.П. Редькин, С.С. Рышков, В.М. Сидельников, А.Б. Угольников, доценты М.И. Гринчук, Ю.В. Таранников, А.В. Чашкин, мл.н.с. Д.Ю. Черухин.

В 1999 г. на кафедре активно велась научная работа по основным направлениям дискретной математики и математической кибернетики. Проводились фундаментальные исследования в области синтеза, сложности, надёжности и контроля управляющих систем, теории кодирования, теории графов, комбинаторного анализа, теории булевых функций и многозначных логик, дискретной оптимизации, дискретной геометрии. Осуществлялись теоретические исследования в области автоматической обработки естественно-языковых текстов, математических методов в социологии. Сотрудники и аспиранты кафедры участвовали в прикладных исследованиях по указанной проблематике.

Научная работа кафедры поддерживалась грантами РФФИ, ФЦП «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997–2000 гг.» и др.

В числе важнейших научных результатов, полученных на кафедре в 1999 г. следующие:

1. Предложен новый метод построения булевых функций с высокой корреляционной иммунностью, позволяющий строить рекордные примеры функций с устойчивостью, близкой к числу переменных, имеющих высокую нелинейность и достигающих по каждой переменной границы Зигенталера.

2. Разработан алгоритмический критерий сравнения конечных базисов при реализации булевых функций формулами; тем самым дано алгоритмическое решение проблемы, остававшейся открытой около 40 лет. Получена полная классификация предмаксимальных булевых базисов.

3. Предложен новый метод получения оценок программной сложности дискретных функций для машин с произвольным доступом к памяти. Установлена асимптотика сложности реализации булевых функций обобщенными бинарными программами (модель Ли-Кузьмина без ограничений).

4. Исследована задача диагностики инверсных неисправностей схем из функциональных элементов. Конструктивно установлено, что всякую булеву функцию можно реализовать неизбыточной схемой в классическом базисе, допускающей единичный проверяющий тест из двух наборов.

5. Впервые установлен ряд достаточных условий существования базиса из векторов смежности в n-мерной решетке.

В 1999 г. кафедра обеспечивала чтение основных лекционных курсов «Введение в математическую логику», «Дискретная математика», «Введение в дискретную математику», «Основы кибернетики» и ряда специальных лекционных курсов, в т.ч.: «Элементы математической кибернетики», «Введение в дискретную математику и математическую кибернетику», «Синтез управляющих систем», «Диагностика управляющих систем», «Решетчатые упаковки», «Клетки Вороного и Делоне для точечных решёток», «Совершенные полэдры», «Теория кодирования и её приложения к криптографии», «Теория сложности», «Теория графов и её приложения», «Комбинаторные свойства дискретных структур», «Быстрые вычисления», «Избранные вопросы сложности булевых функций», «Замкнутые классы булевых функций», «Введение в математические методы анализа и обработки социологической информации».

На кафедре работали научно-исследовательские и учебные специальные семинары «Синтез управляющих систем», «Математические вопросы кибернетики» «Дискретная математика и математические проблемы криптографии», «Дискретная математика в социологии», «Наглядная и дискретная геометрия» и др.

В 1999 г. кафедра приняла ведущее участие в организации ряда международных и межгосударственных конференций, школ и семинаров по дискретной математике и математической кибернетике. Кафедрой проведена большая организационная работа по проведению в мае 1999 г. на базе Нижегородского государственного университета очередной XII международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». При активном участии кафедры в октябре 1999 г. в г. Новосибирске на базе Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН проведена III научная молодежная школа по дискретной математике и её приложениям, и в ноябре того же года в г. Минске на базе Белорусского государственного университета X межгосударственная школа-семинар «Синтез и сложность управляющих систем».

В 1999 г. доц. А.В. Чашкин защитил докторскую диссертацию.

В 1999 г. А.В. Чашкину присуждена премия им. И.И. Шувалова за цикл работ «Локальная сложность булевых функций».

 

Кафедра дифференциальной геометрии и приложений (зав. акад. РАН А.Т. Фоменко). Кафедра основана в 1922 г.

В настоящее время кафедра развивает следующие научные направления:

1) Современная дифференциальная геометрия и топология и их приложения к актуальным проблемам механики и математической физики (А.Т. Фоменко, А.В. Болсинов, В.Л. Голо, Ю.П. Соловьёв, А.И. Шафаревич).

2) Симплектическая геометрия и топология. Динамические системы (А.Т. Фоменко, А.В. Болсинов, Е.А. Кудрявцева, А.А. Ошемков, В.В. Трофимов).

3) Алгебраическая топология (Ф.Ю. Попеленский, Ю.П. Соловьёв).

4) Алгоритмические и компьютерные методы в топологии, геометрии, физике и механике. Квантовые вычисления и квантовый компьютер (А.Т. Фоменко, А.В. Болсинов, В.Л. Голо, А.О. Иванов, Г.В. Носовский, А.А. Ошемков, Ю.П. Соловьёв, А.А. Тужилин).

5) Топология и вариационное исчисление, теория минимальных сетей и поверхностей (А.Т. Фоменко, А.О. Иванов, А.А. Тужилин).

6) Дифференциально-геометрические вопросы теории вероятностей и математической статистики (Г.В. Носовский).

7) Дифференциально-геометрические методы в современной математической экономике (В.В. Трофимов).

При кафедре работает лаборатория компьютерных методов в естественных и гуманитарных науках (зав. проф. А.В. Болсинов). Лаборатория разрабатывает новое перспективное научное направление – создание компьютерных методов, пригодных для фундаментальных научных исследований в тех случаях, когда классические аналитические методы неэффективны ввиду чрезвычайной сложности решаемых задач и больших объемов информации, нуждающейся в переработке.

Кафедра постоянно ведет совместные научные исследования с крупными зарубежными научными центрами, в частности с Университетом штата Аризона (США), университетом г. Айзу (Япония), Токийским Университетом (Япония), математическим факультетом Бохумского университета (г. Бохум, Германия), Институтом динамических систем г. Бремена (Германия), Институтом математики и информатики Университета Грейфсвальда (Германия). Кафедра активно сотрудничает с Русско-французским институтом им. А.М.Ляпунова и Русско-германским институтом науки и культуры при МГУ.

Кафедра читает следующие обязательные курсы для студентов факультета: «Классическая дифференциальная геометрия», «Дифференциальная геометрия и топология», «Квантовая теория поля», «Математические модели в экономике» и около 10 специальных курсов по различным разделам геометрии и топологии. На кафедре работает один из старейших семинаров Московского университета «Семинар по векторному и тензорному анализу».

В 1999 г. кафедра выступила инициатором и организатором рабочего совещания по теме «Квантовый компьютер», в котором приняли участие ведущие специалисты из многих научных центров. Кафедра принимала участие в проведении международной конференции «Маломерная топология и комбинаторная теория групп» (Челябинск) и международной конференции по геометрии, посвящённой 90-летию со дня рождения Г.Ф. Лаптева.

Основными научными результатами кафедры в 1999 г. являются: разработка новых методов вычисления топологических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (А.Т. Фоменко, А.В. Болсинов); обнаружение нового класса динамических систем, занимающего промежуточное положение между интегрируемыми и хаотическими системами (А.В. Болсинов); предложение новой модели расщепления или удвоения молекул типа ДНК (В.Л. Голо); построение общей теории локально-минимальных сетей на римановом многообразии (А.О. Иванов, А.А. Тужилин); разработку методов построения асимптотических решений уравнений Навье-Стокса, локализованных в малой окрестности некоторой точки, кривой или поверхности в трехмерном пространстве (А.И. Шафаревич); предложение нового метода вычисления континуальных интегралов с любой степенью точности и обобщенного суммирования расходящихся рядов (Ю.П. Соловьёв).

 

Кафедра дифференциальных уравнений. В 1999 г. на кафедре работали 2 академика РАН (в т.ч. один по совместительству), 8 профессоров (в т.ч. два по совместительству), 6 доцентов, 3 ассистента (все по совместительству).

Научная работа велась по основной теме «Качественные свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными». Отдельные направления исследований касались вопросов устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений и свойств показателей Ляпунова, решения обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ, гамильтоновых систем, задач усреднения для уравнений математической физики, спектральной теории дифференциальных операторов, задач со свободной границей, конечномерных и бесконечномерных динамических систем.

Сотрудники кафедры читали общие курсы «Дифференциальные уравнения», «Дифференциальные уравнения для экономистов», «Уравнения с частными производными», «Уравнения математической физики», «Современные проблемы математической физики», а также ряд специальных курсов, вели упражнения в студенческих группах, руководили специальными семинарами, курсовыми и дипломными работами, аспирантами, стажерами.

Продолжилось участие членов кафедры в международном научном сотрудничестве. Ряд сотрудников кафедры выезжал в зарубежные научные командировки: в США, Германию, Францию, Англию, Италию, Норвегию. Доклады членов кафедры были включены в программу Московской международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, (Москва, август), несколько сотрудников кафедры участвовали в работе международной конференции по нелинейным уравнения с частными производными, посвященной памяти профессора кафедры С.Н. Кружкова (Безансон, Франция, июль), кафедра была представлена и на международной конференции Equadiff 99 (Берлин, август).

В 1999 г. проф. Н.Х. Розов стал лауреатом главной премии МАИК «Наука» за лучшую публикацию в издаваемых РАН журналах за статью «Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений» (совместно с Е.Ф. Мищенко, А.Ю. Колесовым), опубликованную в журнале «Труды математического института им. Стеклова».

В 1999 г. исполнилось 60 лет профессору кафедры В.М. Миллионщикову. Юбиляру была объявлена благодарность в приказах ректора МГУ и декана механико-математического факультета.

 

Кафедра математического анализа (зав. акад. РАН В.А. Садовничий). Велись исследования по современной спектральной теории линейных операторов, по граничным свойствам аналитических функций, по классификации и свойствам целых функций, по обобщенному интегрированию и дифференцированию, по ортоподобным и обобщенным ортоподобным системам разложения, по орторекурсивным разложениям, по сглаживанию и приближению функций, по экстремальным задачам. Продолжались исследования по развитию методов тригонометрических сумм в теории чисел и по современным проблемам геометрии, по теории дифференциальных и интегральных уравнений, по бесконечномерному анализу. На кафедре продолжались важные исследования прикладного характера по обработке изображений и распознаванию образов в дистанционном зондировании.

Сотрудники кафедры продолжают чтение и ведение упражнений по основному двухгодичному курсу математического анализа, чтение основных курсов высшей математики и практические занятия на естественных факультетах МГУ. В 1998/99 уч. г. читалось 12 специальные курсов.

Изданы учебники «Лекции по математическому анализу» Г.И. Архипова, В.А. Садовничего, В.Н. Чубарикова, «Теория операторов» В.А. Садовничего, учебное пособие «Математический анализ» В.И. Гаврилова в 2-х частях, монография «Российский Интернет в цифрах и фактах» В.А. Садовничего, В.В. Васенина и др., книга «Россия, Московский университет, высшая школа» В.А. Садовничего, «Труды семинара «Время, хаос и математические проблемы» В.А. Садовничего.

При кафедре действует лаборатория прикладного математического анализа (зав. акад. РАН В.А. Садовничий) и кабинет методики преподавания элементарной математики (зав. д.пед.н. И.И. Мельников). Продолжалась работа по совершенствованию системы математического образования в средних учебных заведениях и подготовки к обучению в вузах.

Мл.н.с. А.П. Солодов и асс. А.В. Субботин защитили кандидатские диссертации.

Отмечались юбилеи зав. кафедрой В.А. Садовничего, доцентов В.Г. Чирского и Т.В. Першиковой.

 

Кафедра математической логики и теории алгоритмов (зав. проф. В. А. Успенский). В 1999 г. педагогическая деятельность кафедры на механико-математическом факультете заключалась в преподавании обязательных курсов «Введение в математическую логику» (I курс; лекторы – профессора В.А. Успенский и Н.К. Верещагин) и «Математическая логика и алгоритмы» (IV курс; лектор – чл.-корр. РАН С.И. Адян). Кроме того силами кафедры осуществлялось преподавание ряда математических дисциплин на отделении теоретической и прикладной лингвистики филологического факультета. В 1999 г. на кафедре были прочитаны спецкурсы по теории доказательств, модальной логике, колмогоровской сложности и другим разделам математической логики и теории алгоритмов.

Научные исследования на кафедре осуществляются по следующим направлениям: математическая логика, теория вычислимости, алгоритмические вопросы алгебры, конструктивная логика, модальная логика, сложность вычислений, колмогоровская сложность. В 1999 г. были получены следующие результаты:

Доказано, что для всех модальных логик, содержащих K4, из полноты по Крипке следует сильная окрестностная полнота. Установлена финитная аппроксимируемость для произведения минимальной модальной и минимальной временной логики.

Доказана разрешимость всех конечно аксиоматизируемых расширений модальной логики SLn. Установлена финитная аппроксимируемость всех расширений временной логики SL. tn.

Доказано, что для любых слов x, y существует преобразователь p минимальной длины x в y и существует преобразователь q минимальной длины y в x, имеющие общую часть, близкую к нулю (порядок малости логарифм от сложностей x, y). Установлено, что предельная колмогоровская сложность слова x и верхний предел сложности x относительно y (при y, стремящемся к бесконечности) совпадают с точностью до аддитивной константы. Построена почти периодическая последовательность слов, у которой колмогоровская сложность начальных отрезков растет линейно (а не логарифмически, как для стандартных примеров).

Введено понятие Sn-реализуемости для языка формальной арифметики, являющееся обобщением рекурсивной реализуемости Клини в результате замены рекурсивных функций на Sn-функции. Доказано, что предикатная логика Sn-реализуемости является Pw+1-трудной.

Получена верхняя оценка сложности разрешения для пропозициональной логики доказательств LP С. Н. Артёмова (-полнота), показывающая, что эта логика существенно проще своего модального напарника S4.

Доказана полнота функциональной логики доказательств относительно ссылочной семантики.

Построен вариант логики доказательств LP(S5), соответствующий модальной логике S5. Доказаны теорема о реализации S5 в LP(S5), теорема об арифметической полноте LP(S5) и разрешимость LP(S5).

Исследовалась алгоритмическая трудность естественных предикатных расширений логики доказательств. Получены нижние оценки сложности и доказана неаксиоматизируемость предикатных логик доказательств, описывающих свойства предикатов доказательств различных классов, в частности, одноэлементного класса. Рассматривались также логики доказательств первого порядка с константами по доказательствам. Для этих логик получены меньшие нижние оценки сложности, которые однако достаточны для установления их неаксиоматизируемости.

Получены нижние оценки сложности для логик доказуемости с кванторами по доказательствам. Показано, что для класса всех предикатов доказательств, класса всех функциональных предикатов доказательств и для класса всех нормальных нефункциональных предикатов доказательств любого w-непротиворечи­вого расширения арифметики Пеано соответствующие логики будут P2-трудными. Также установлено, что логика, соответствующая нормальному нефункциональному предикату доказательств геделевского типа для истинностной арифметики TA является P1-трудной.

Рассматривались ориентированные на автоматизацию построения математических доказательств приложения логик доказательств. Для арифметических правил вывода, специфицированных схемами в языке функциональной логики доказательств, построен алгоритм распознавания PA-допустимости. Предложен эффективный метод устранения PA-допустимых правил такого рода из арифметических выводов. Разработан и реализован в виде программы на функциональном языке программирования эффективный алгоритм первопорядковой унификации термов со связыванием, факторизованных по отношению альфа-эквивалентности.

Доказано, что операция композиции вместе с неитерированным m-оператором недостаточна для моделирования оператора ограниченной рекурсии. На этой основе доказана независимость ряда принципов в ограниченной арифметике, в том числе независимость схемы индукции для ограниченных формул от принципа наименьшего числа для бескванторных формул.

Научные исследования велись также в организованной при кафедре в 1995 г. лаборатории логических проблем информатики. В 1999 г. сотрудниками лаборатории получен ряд значимых результатов. Получены нижние оценки сложности и доказана неаксиоматизируемость предикатных логик доказательств, описывающих свойства предикатов доказательств различных классов, в частности, одноэлементного класса. Получены нижние оценки сложности для логик доказуемости с кванторами по доказательствам. Установлена верхняя оценка сложности разрешения логики доказательств LP С.Н. Артёмова, показывающая, что эта логика существенно проще своего модального напарника S4. Доказано, что для всех модальных логик, содержащих K4, из полноты по Крипке следует сильная окрестностная полнота. Установлена финитная аппроксимируемость произведения минимальной модальной и минимальной временной логики. Доказана независимость некоторых принципов в ограниченной арифметике, в том числе независимость схемы индукции для ограниченных формул от принципа наименьшего числа для бескванторных формул. Для арифметических правил вывода, специфицируемых схемами в языке функциональной логики доказательств, построен алгоритм распознавания PA-допустимости. Предложен эффективный метод устранения PA-допу­стимых правил такого рода из арифметических выводов.

В 1999 г. успешно продолжалась работа по совместному с Корнеллским университетом (США) проекту совершенствования и применения программного комплекса автоматизированного построения и верификации математических доказательств NUPRL. Продолжена разработка библиотек формальных теорий, предназначенных для верификации программ. Разработан и реализован в виде программы на функциональном языке програм­мирования эффективный алгоритм первопорядковой унификации термов со связыванием, факторизованных по отношению альфа-эквивалентности. Разработан и реализован эффективный метод хэши­рования сложных синтаксических структур, а также ряд основанных на нем алгоритмов обработки и преобразования различных синтаксических представлений связанных термов. Программные разработки включены в состав новейшей версии комплекса «Cистема автоматизации построения и верификации математических доказательств MetaPrl» (разрабатывается Корнеллским университетом, США, при участии лаборатории).

 

Кафедра математической статистики и случайных процессов. Кафедра основана акад. АН СССР А.Н. Колмогоровым в 1976 г. Кафедрой заведовали: А.Н. Колмогоров (1976–1980), Ю.А. Розанов (1980–1999). C 1999 г. кафедрой заведует чл.-корр. РАН В.В. Козлов. При кафедре имеется лаборатория математической статистики, которой заведует доц. М.В. Козлов.

Кафедра читает общие курсы «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Случайные процессы».

Основные направления научных исследований: статистический анализ случайных процессов, статистическая теория динамических систем, статистическая механика, стохастические дифференциальные уравнения, статистический анализ в стиховедении, ветвящиеся процессы и случайные блуждания в случайной среде, характеристические функции, устойчивые распределения, непараметрические методы статистики, случайные процессы с бесконечной памятью, теория разделимых статистик, алгоритмическая теория вероятностей.

В 1999 г. были получены следующие наиболее значимые результаты:

Изучена хаусдорфова размерность пространства конфигураций решётчатых моделей статистической физики относительно метрик, связанных с потенциалом взаимодействия. Доказано существование удельной энергии и давления для моделей статистической физики на аменабельных группах, обладающих свойством тайлинга.

Рассмотрены применения ранее полученных результатов, заключающихся в том, что гладкая диффузия может обладать двумя инвариантными мерами, одна из которых крайне сингулярна, другая же, напротив, обладает логарифмической производной относительно невырожденной гауссовской меры, к более общим топологическим пространствам.

Получены условные предельные теоремы для случайного блуждания и винеровского процесса с условием, выраженным через расщепляющие моменты.

Установлено, что типичные стационарные течения вязкой жидкости обладают ярко выраженными хаотическими свойствами.

Получен новый вывод канонического распределения Гиббса, не использующий (в отличие от классического подхода Дарвина-Фаулера) эргодическую гипотезу и предельный переход, когда число одинаковых взаимодействующих подсистем стремится к бесконечности.

С помощью численного и аналитического исследования установлено хаотическое поведение систем взаимодействующих частиц с потенциалом Дайсона и системы связанных маятников.

Для полуквазиоднородных систем доказано, что изолированное равновесие неустойчиво, если имеется инвариантная мера и если фазовое пространство имеет нечётную размерность.

Получены новые достаточные условия единственности восстановления распределения слагаемых по распределению суммы. Получены новые оценки устойчивости разложения на произвольное число слагаемых для целочисленных распределений. Получены достаточные условия неоднозначности восстановления распределения слагаемых по распределению суммы.

Получены новые неравенства для характеристических функций.

Построены преобразования непараметрических оценок плотности, улучшающие их свойства.

Разработаны методы нетрадиционной томографии.

Получена новая статистическая классификация метрических вариантов классического русского стиха.

Исследованы статистические свойства устойчивости оценки показателя Харста фрактального броуновского движения. Проведен сравнительный анализ различных оценок показателя Харста. Выполнено моделирование негауссовского процесса с бесконечной памятью.

Описаны свойства моментных оценок информативных параметров в схеме разделимых статистик. Предложен подход к решению проблемы Беренса-Фишера, основанный на разделимых статистиках.

 

Кафедра математической теории интеллектуальных систем (зав. проф. В.Б. Кудрявцев). Выявление закономерностей, создание теории и моделирование процессов восприятия, хранения и переработки информации, принятия решений и поведения в сложных средах абстрактных, технических и живых систем составляет содержание научной области, именуемой интеллектуальными системами.

В 1999 г. получена классификация автоматных базисов по свойству разрешимости задачи полноты для них, которая стала основой докторской диссертации ст.н.с. Д.Н. Бабина.

Получены фундаментальные результаты: развита теория поведения автоматов и роботов в абстрактных и реальных средах; проведено исследование проблемы выразимости и полноты для дискретных функций и автоматов; изучены возможности мозаичных структур как моделей схем параллельных вычислений и нейронных сетей с самообучением; развивается теория синтеза экспертных систем и компьютерных решателей задач; созданы действующие системы решения математических задач и обучения иностранным языкам; разработаны экспертные системы для медицины и системы информационного мониторинга; для широких классов дискретных функций получены методы синтеза оптимальных по сложности схем вычислений, корректирующих большое число ошибок, и др.

На кафедре читаются спецкурсы: теория интеллектуальных систем, введение в дискретную математику и математическую кибернетику, теория графов и ее приложения, распознавание образов, теория алгоритмов, введение в мат. экономику, компьютерный решатель математических задач, ценность информации и проблемы информационной безопасности, теория защиты информации, математическая информатика, введение в алгебраическую теорию кодирования, теория баз данных и информационного поиска, теория автоматов, дискретный подход к моделированию, введение в теорию нечетких множеств.

Интерес к теории интеллектуальных систем и ее приложениям с каждым годом возрастает, о чем свидетельствует, в частности, растущее число желающих специализироваться по кафедре МаТИС. В этом году на кафедру было подано свыше 60 заявлений, что существенно превышает число заявлений на любую другую кафедру факультета. На кафедре обучаются около 20 аспирантов и стажеров и свыше 100 студентов.

Ведутся совместные исследования с научными центрами Германии, США, Японии, Бельгии, Швейцарии, Китая, Югославии, Венгрии, Болгарии и др. стран. Продолжил работу открытый семинар «Наука и культура». Проводилась очередная международная конференция «Интеллектуальные системы».

 

Кафедра механики композитов (зав. проф. Б.Е. Победря). Коллектив кафедры в 1999 г. помимо работы по модернизированным учебным планам подготовки научных кадров высокой квалификации вёл научные исследования по традиционной кафедральной тематике. Это фундаментальные проблемы механики деформируемого твёрдого тела и вычислительной механики композитов, методика осреднения в регулярных и нерегулярных структурах, механика фазовых переходов, устойчивость процессов деформирования в сплошных средах, проблемы оптимального управления процессами и проектирования, статистическая механика деформируемого тела и др. Появилась и новая тематика. Это создание математических моделей композитов, компоненты которых физико-химически взаимодействуют между собой, подвергаясь химическим реакциям, фазовым переходам и термодиффузии. При этом учитывается изменение границы между компонентами, которая иногда имеет фрактальную природу. Это проблемы эволюционной деструкции композитов. Это механика и диагностика биокомпозитов. Это механика резинокордных композитов (пневматических шин). Расширение тематики в некоторой степени связано с работой по выполнению новых и продолжающихся проектов российских и международных грантов (РФФИ, ИНТАС-РФФИ, ФЦП «Интеграция», КЦФЕ).

В 1999 г. сотрудники кафедры участвовали в следующих крупных международных конференциях и съездах: Annual Meeting GAMM (Мец, Франция); ICIAM’99 (Эдинбург, Шотландия); «Моделирование и исследование устойчивости в механике» (Киев). В Берлинском техническом университете проф. Б.Е. Победря прочитал две лекции по некоторым из полученных новых результатов.

Были изданы учебник «Лекции по теории упругости» (Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский) и учебное пособие «Основы компьютерной томографии» (А.С. Кравчук).

В 1999 г. продолжила свою деятельность созданная ранее на кафедре лаборатория механики и диагностики биокомпозитов, деятельность которой была посвящена новым фундаментальным научным направлениям:

– создание моделей поведения биокомпозитов;

– разработка численных и аналитических методов анализа неоднородных структур применительно к конструкционным композиционным материалам;

– разработка теоретических моделей диагностики биокомпозитов;

– создание концептуальных основ проектирования новых диагностических технологий и приборов.

Полученные в лаборатории результаты по новым фундаментальным научным направлениям были использованы в учебном процессе на механико-математическом факультете и в учебном центре Института биологического приборостроения (г. Пущино). В частности, были разработаны и реализованы следующие новые учебные курсы: «Механика и диагностика биокомпозитов» (спецкурс естественнонаучного содержания для студентов-математиков IV курса); «Теория определяющих соотношений с учётом эволюционной деструкции»; «Методы томографии в механике композитов и биокомпозитов». Кроме того, полученные результаты использованы при чтении классических курсов: «Механика сплошной среды»; «Механика деформируемого твёрдого тела»; «Оптимальное управление». По результатам, полученным в области механики биокомпозитов, было сделано два доклада на Ломоносовских чтениях 1999 г. Составлен план совместных научных работ и оформлен договор по его выполнению с Институтом Механики Берлинского технического университета.

В 1999 г. проф. Д.В. Георгиевскому за цикл работ «Устойчивость слабонеоднородных течений со сложной реологией» присуждена премия Европейской Академии наук для молодых учёных СНГ.

 

Кафедра общей топологии и геометрии. Топология начала развиваться как самостоятельная область математики сравнительно недавно, ее становление относят к началу XX в. В значительной мере своими основами она обязана представителям российской науки. Первооткрывателями многих важнейших направлений топологии были выдающиеся математики П.С. Александров (1896–1982) и П.С. Урысон (1898–1924). Ими в Московском университете был организован первый в нашей стране топологический семинар, существующий до сих пор. Участниками этого семинара с момента его основания стали многие известные ученые, в нем выросло уже несколько поколений замечательных математиков, которые своей научной и педагогической работой способствовали дальнейшему развитию топологии, расширению топологических исследований в нашей стране и за рубежом. Московская топологическая школа по праву считается одной из сильнейших в мире.

В 1982 г. после смерти П.С. Александрова, на факультете была создана кафедра общей топологии и геометрии, сотрудниками которой стали представители его научной школы, в том числе его непосредственные ученики.

Заведующим кафедрой с момента её основания является проф. В.В. Федорчук. В настоящее время на кафедре работают: профессора А.В. Архангельский, Б.А. Пасынков, В.И. Пономарёв, В.В. Филиппов, доценты С.А. Богатый, А.П. Комбаров, К.Л. Козлов, Ю.В. Садовничий, М.В. Смуров и А.Н. Якивчик, ст.н.с. О.В. Сипачёва, н.с. В.И. Зайцев, ст. лаборант Е.Б. Галкина.

Научные исследования, проводимые на кафедре, охватывают чрезвычайно широкий спектр направлений, относящихся как к традиционным вопросам общей топологии, так и к её приложениям в других областях математики; разрабатываются новые перспективные области. В последнее время учеными кафедры получены фундаментальные результаты в теории ковариантных функторов (в частности, вероятностных мер), в топологической алгебре, в теории размерности, в теории топологических многообразий, в топологической динамике. Существенные продвижения были достигнуты в топологии тихоновских произведений и гиперпространств, в теории пространств непрерывных функций, в послойной общей топологии. Успешно разрабатывается новый подход к теории дифференциальных уравнений, основанный на топологических методах.

Многие из последних результатов научных исследований сотрудников кафедры приобрели мировую известность, докладывались на международных конференциях. Некоторые из них были получены в ходе совместной научной работы с зарубежными учеными.

Профессорско-преподавательским составом кафедры читаются общеобразовательные курсы по аналитической геометрии и линейной алгебре и различные специальные курсы, проводятся специальные семинары. Тематика специальных курсов и семинаров широка и разнообразна. Среди них имеются как ориентированные на студентов младших курсов и дающие введение в классическую общую топологию и теорию множеств, так и содержащие изложение новейших достижений и открытых проблем в современных направлениях топологии. Основным семинаром кафедры является основанный в 1924 г. научно-исследовательский семинар имени П.С.Александрова, на котором докладываются практически все наиболее важные результаты российских специалистов в области общей топологии, а часто и их зарубежных коллег.

В память об основателе московской топологической школы П.С. Александрове на механико-математическом факультете при участии Московского математического общества ежегодно в конце мая проводится топологическая конференция «Александровские чтения». Научная программа конференции включает три специальных секции, работу которых организуют три кафедры факультета, в том числе кафедра общей топологии и геометрии. В 1999 г. «Александровские чтения» состоялись 26–27 мая, в них приняли участие около 50 человек, среди которых представители различных научных центров России, а также стран СНГ и дальнего зарубежья.

 

Кафедра общих проблем управления (зав. проф. В.М. Тихомиров). Кафедра ОПУ была образована приказом ректора МГУ И.Г.Петровского №144 9-го апреля 1966 г. В 1999 г. на ней работали 8 профессоров, 7 доцентов, 1 старший преподаватель, 3 ассистента, 2 научных сотрудника.

К основным направлениям научной работы кафедры в 1999 г. относятся вопросы, связанные с единой темой «Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач».

В числе основных результатов научной работы отметим следующие:

Найдены общие теоремы об оптимальных методах аппроксимации и восстановления, а также о поперечниках классов Соболева и Харди.

Получены новые интересные результаты о существовании периодических функций, частные суммы ряда Фурье которых поточечно достаточно быстро расходятся.

Продолжались исследования смешанной краевой задачи для системы Навье-Стокса. Были построены траекторные аттракторы для эллиптических систем в специальных областях, теория возмущений траекторных аттракторов для диссипативных гиперболических уравнений, найдены усреднения аттракторов некоторых эволюционных уравнений математической физики.

Получен ряд результатов о наилучших константах в неравенствах для производных колмогоровского типа.

Проводились численные эксперименты и получены конкретные результаты по оптимизации движения космических аппаратов.

Доказаны теоремы вложения для некоторых бесконечномерных пространств.

Получены оценки сверху для аппроксимации кусочно-постоянными функциями на квадрате.

Проанализированы математические и методические основания марковских цепей как моделей сукцессии растительности в сухопутных экосистемах.

В 1999 г. на кафедре обучались 16 аспирантов и 54 студента. Основной курс кафедры – «Вариационное исчисление и оптимальное управление», читается для студентов IV курса отделения математики. В его разработке и постоянной модернизации принимают участие по существу все члены кафедры. Для студентов-механиков читается курс: «Методы вычислений». Его разработал и на протяжении многих лет читает проф. В.Ф. Дьяченко, чей 70-летний юбилей коллектив кафедры тепло отметил в феврале. На кафедре в этом учебном году читались следующие спецкурсы: «Экстремальные задачи теории приближений», «Уравнения с частными производными и их аттракторы», «Геометрические методы в теории оптимального управления», «Аппроксимативная управляемость параболических уравнений и системы Навье-Стокса», «Условия второго порядка в теории экстремальных задач», «Модели теории управления», «Уравнения математической физики и численные методы», «Численные методы решения задач оптимального управления», «Математическая экология», «Статистические решающие правила в биржевой деятельности».

В 1999 г. сотрудники кафедры стали участниками в общей сложности 15 научных конференций, проходивших в разных частях земного шара, а именно в России, на Украине, в Польше, Венгрии, Германии, Голландии, США, Японии.

За 1999 г. сотрудники кафедры приняли активное участие в подготовке и издании 5 монографий и учебных пособий: «Оптимизация (Теория. Примеры. Задачи.)», «Выпуклый анализ и его приложения», «Великие математики прошлого и их великие теоремы», «Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. Теория и приложения», «Character sums with exponential functions and their applications».

В рамках международных связей продолжалась работа с институтом математики Китайской АН и институтом общей экологии Технического Университета Дрездена.

 

Кафедра прикладной механики и управления (зав. акад. РАН А.Ю. Ишлинский). На кафедре работают 5 профессоров, докторов физико-математических наук; 5 доцентов кандидатов физико-математических наук; 1 ведущий научный сотрудник, кандидат физико-математических наук; 2 инженера.

Преподаватели кафедры читают общий курс «Механика управляемых систем» для всех студентов механиков IV курса. На кафедре обучается 52 студента и 22 аспиранта. Для них читается 10 специальных курсов по различным вопросам динамики систем связанных тел и различным аспектам теории автоматического управления механическими системами.

Выпускниками аспирантуры кафедры в 1999 г. защищено 5 кандидатских диссертаций.

Научная работа кафедры проводится в тесном содружестве с лабораториями управления и навигации и МОИДС факультета и НИИ механики МГУ. Отметим основные результаты этих работ в 1999 г.

Разработана процедура введения малых параметров в уравнения сложных механических систем, переменные которых не разделены изначально на «быстрые» и «медленные».

Методы фракционного анализа использованы для построения математической модели явления «термический бар в пресноводных озерах». Проведена серия численных экспериментов на ЭВМ, и результаты расчетов сопоставлены с натурными наблюдениями. Работы ведутся в сотрудничестве с физическим факультетом. Проведены исследования по моделированию тросовых систем. Изучено поведение троса под действием сплошной нагрузки.

На основе методики фракционного анализа разработана механическая модель высокочастотных движений автомобиля, снабженного антиблокировочной системой (АБС). Эта модель позволяет описывать негативные колебательные эффекты, наблюдаемые при работе АБС.

Поставлена задача математического моделирования движений больного ДЦП. Выбрана кинематическая схема для описания глобальной сгибательной синергии.

При участии студентов и аспирантов кафедры разработана и подготовлена новая модель автономного мобильного колесного робота. Команда разработавшая этот робот, завоевала третье место в свободном классе на соревнованиях мобильных роботов в рамках фестиваля наук и технологий в г. Бурже (Франция). Сотрудники кафедры приняли активное участие в подготовке и проведении пробных соревнований фестиваля «Мобильные роботы–99», где команды кафедры также были отмечены призами в различных классах.

Сотрудниками кафедры и лаборатории управления и навигации разработаны высокоэффективные алгоритмы аэрогравиметрии. Алгоритмы в 1999 г. успешно апробированы при площадных испытаниях аэрогравиметрического комплекса созданного при сотрудничестве с МИЭА и ВНИИ Физики Земли РАН.

В рамках совместных работ проводимых кафедрой, лабораторией МОИДС и центром подготовки космонавтов разработаны алгоритмы имитационного моделирования различных этапов космического полета. Алгоритмы внедрены в практику при разработке управления центрифугами в ЦПК.

Кафедра сотрудничает с зарубежными научно-педагогическими коллективами: университета Карлоса III в Мадриде (Испания) и университета г. Пуэбло (Мексика).

 

Кафедра теоретической механики (зав. акад. РАН Д.Е. Охоцимский). На кафедре работают 12 профессоров, 7 доцентов, 1 ведущий и 2 научных сотрудника, 1 старший лаборант, в т. ч. 2 академика, 1 чл.-корр. РАН, 15 докторов и 7 кандидатов наук. На кафедре обучаются 37 аспирантов.

К основным направлениям научной работы кафедры в 1999 г. относятся: проблемы интегрируемости и детерминированности хаоса в динамических системах; динамика гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, и экспоненциальномалые эффекты в системах с быстрыми и медленными переменными; вариационные методы исследования гамильтоновых систем; динамика систем с неудерживающими связями, теория удара и динамические бильярды; теория устойчивости и бифуркации динамических систем; параметрический резонанс; небесная механика и динамика космического полета; аналитическая механика бесконечномерных систем; развитие аналогий между динамическими системами классической механики и гидродинамикой; динамика и управление движением роботов-манипуляторов и мобильных роботов; разработка компьютерных обучающих комплексов по классической и небесной механике.

Проведён I всероссийский научно-технический фестиваль молодёжи «Мобильные роботы–99» с международным участием (проект № 1. 6 - 329 ФЦП «Интеграция»), совместно с кафедрой прикладной механики, НИИ механики МГУ, МЭИ, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Сотрудники кафедры принимали активное участие в организации и проведении II всероссийского совещания-семинара заведующих кафедрами теоретической механики.

Силами кафедры читаются лекции и ведутся семинары по двум общефакультетским курсам–  «Классическая механика» для студентов II курса и «Аналитическая механика» для студентов III–IV курсов. На кафедре читаются также специальные курсы для студентов III–V курсов и аспирантов: «Устойчивость и стабилизация движения», «Прикладные проблемы устойчивости и стабилизации динамических систем», «Механика и управление робототехническими системами», «Динамика космического полёта», «Устойчивость и катастрофы в механике», «Гамильтонова теория возмущений», «Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы», «Неуправляемое движение искусственного спутника земли относительно центра масс», «Движение тела в сопротивляющейся среде», «Периодические решения Пуанкаре», «Вариационные методы классической механики», «Избранные задачи небесной механики», «Компьютерные пакеты для изучения и преподавания теоретической механики», «Математические модели и методы изучения больших дискретных систем механики астрофизики и биологии», «Механические модели пространственной структуры молекул ДНК и РНК».

На кафедре постоянно действуют научные специальные семинары: «Механика и управление движением роботов», «Аналитическая механика и теория устойчивости», «Динамика относительного движения», «Динамические системы классической механики», «Динамика твердого тела, взаимодействующего со средой», «Механика космического полета», «Классическая динамика», «Задачи и проблемы робототехники». Кроме этого ведутся два учебных специальных семинара для студентов III–IV курсов и методический специальный семинар «Теоретическая механика».

Кафедра тесно сотрудничает с Техническими университетами Вены (Австрия), Барселоны (Испания), Мюнхена, Штуттгарта и Карлсруэ (Германия), Тренто (Италия), Намюра и Лувена-ля-Нев (Бельгия), Парижским университетом Версаль, Парижским университетом П. и М. Кюри, Высшей школой мостов и дорог (Париж) и Парижской лабораторией робототехники, университетом штата Огайо (Колумбус, США).

Заведующий кафедрой акад. Д.Е. Охоцимский награждён Серебряной медалью Академии «За заслуги в деле изобретательства» (Международная академия авторов научных открытий и изобретений).

 

Кафедра теории вероятностей. На 1 января 2000 г. кафедра насчитывает 29 сотрудников, из них профессоров – 12 (в т. ч. совместителей 5), доцентов – 13 ( в т. ч. совместителей 2), ст. преподавателей – 2; ассистентов – 1; ст. лаборантов – 1. Заведующим кафедрой является чл.-корр. РАН А.Н. Ширяев, зам. заведующего – проф. А.Д. Соловьёв и доц. Д.Б. Гнеденко. Учёный секретарь кафедры – ст. препод. Н.Г. Химченко.

Кафедра располагает тремя научно-исследовательскими лабораториями: больших случайных систем (зав. проф. В.А. Малышев; 4 сотрудника), теории вероятностей (зав. проф. В.И. Питербарг – 7 сотрудников), математико-экономического моделирования (зав. доц. Е.В. Чепурин – 10 сотрудников). Кроме того, в структуру кафедры также входит кабинет истории и методологии математики и механики (зав. проф. К.А. Рыбников – 13 сотрудников). Таким образом, всего кафедра объединяет 60 сотрудников, из них докторов наук – 24, кандидатов наук – 27.

Для всех сотрудников кафедры и её подразделений на кафедре работает еженедельный «Большой научно-исследовательский семинар».

В 1999 г. на кафедре разрабатывалась теория предельных теорем, в т.ч. некоторые функциональные предельные теоремы для случайных полей (в том числе для ассоциированных случайных полей). В математической теории запасов получены новые результаты в моделях мультиуровневого управления запасами, а также для запасающих систем со случайными возмущениями. В теории надежности получены оценки надежности восстанавливаемых систем с высокой избыточностью. В теории массового обслуживания изучались системы с повторными вызовами и получено описание времени ожидания в таких системах с конечным числом источников вызовов. В финансовой математике исследовались диффузионно-скачкообразные модели финансового рынка, для которых получены замкнутые формулы для цен опционов и уравнения для хеджирующих стратегий в случае совершенного и квантильного хеджирования. Велась также работа по истории математики (асимптотические методы у Лапласа).

В учебном 1998/99 г. кафедра обновила целый ряд специальных курсов и семинаров. Отметим курс естественнонаучного содержания (для математиков V курса) «Стохастическое исчисление» (лектор проф. В.Н. Тутубалин). На V курсе в рамках курса «Дополнительные главы теории вероятностей и математической статистики» в этом году читались: 1) Введение в теорию динамических систем (проф. В.И. Оселедец), 2) Асимптотические методы в теории вероятностей (проф. А.Д. Соловьёв) и 3) Статистика временных рядов (проф. Ю.Н. Тюрин).

Следует отметить, что в 1999 г. на механико-математическом факультете утверждена новая специализация «актуарно-финансовый аналитик» (с внесением в государственный диплом), специалистов по которой будет также готовить кафедра теории вероятностей.

Всего на кафедре теории вероятностей около 180 студентов и 57 аспирантов.

В апреле 1999 г. была впервые проведена научная конференция «Колмогоровские чтения»; докладчиками выступили только студенты и аспиранты кафедры (всего 21 доклад).

В 1999 г. кафедра отметила юбилеи: 60-летие доцентов Е.В. Булинской и И.Б. Михайловской.

По издательской деятельности отметим выход в США (изд-во АМС) перевода известной монографии проф. А.В. Мельникова: A.V.Melnikov, Financial Markets: Stochastic Analysis and the Pricing of Derivative Securities. Было выпущено 5 новых учебных пособий.

Из сотрудничества с зарубежными университетами отметим межвузовское соглашение с Хельсинским университетом по тематике «Стохастический анализ и статистика временных рядов» – рук. чл.-корр. РАН А.Н. Ширяев; а также с финским университетом г. Ювяскюля по тематике «Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения» – рук. проф. Ю.Н. Тюрин.

Из достижений научно-педагогического состава кафедры отметим успешную защиту в 1999 г. докторской диссертации на тему «Стохастические модели теории запасов» доц. Е.В. Булинской, а также защиту кандидатской диссертации асс. М.А. Вронским.

Кабинет истории и методологии математики и механики. В 1955 г. кафедра истории математики, существовавшая в составе механико-математического факультета с 1944 г., была реорганизована и получила статус кабинета, который с тех пор бессменно возглавляет проф. К.А. Рыбников. В настоящее время в кабинете работают 3 доктора и 8 кандидатов физико-математических наук. Все они наряду с научными изысканиями активно занимаются и преподавательской деятельностью. С.С. Демидов, А.В. Дорофеева, С.С. Петрова и Г.С. Смирнова, опираясь на богатейший опыт И.Г. Башмаковой и К.А. Рыбникова, читают основной курс по истории математики, а И.А. Тюлина и В.Н. Чиненова – по истории механики для студентов механико-математического факультета. Подготовленный К.А. Рыбниковым и неоднократно издававшийся на разных языках учебник по истории математики и учебник по истории механики И.А. Тюлиной пользуются огромной популярностью у преподавателей и студентов вузов нашей страны. Продолжением серии учебных пособий по истории и методологии математики стала изданная на механико-математическом факультете в 1999 г. книга К.А. Рыбникова «Вычислительная математика и вычислительная техника: очерк истории», написанная им в соавторстве с Л.Н. Королёвым.

На ряде гуманитарных факультетов – философском, факультете психологии и факультете социологии – сотрудники кабинета читают лекции и проводят семинарские занятия по курсу высшей математики, включающему в себя основы математического анализа, линейной алгебры и теории вероятностей. Для обеспечения учебного процесса были написаны необходимые учебные и методические пособия (А.В. Дорофеева, Л.В. Кудряшова).

Продолжает свою работу основанный С.А. Яновской и М.Я. Выгодским в 1933 г. научно-исследовательский семинар по истории и методологии математики и механики, в последние годы объединивший работу всех московских историков математики и механики. Его руководителями являются К.А. Рыбников, И.Г. Башмакова, С.С. Демидов и И.А. Тюлина. Вокруг семинара сплотился многочисленный коллектив исследователей из разных городов России и стран – бывших республик Советского Союза. Научная работа проводится по следующим основным направлениям:

История дифференциального и интегрального исчисления в работах К.А. Рыбникова и его учеников превратилась в историю анализа и таких его составных частей, как функциональный анализ и вариационное исчисление (А.В. Дорофеева), теория дифференциальных уравнений (С.С. Демидов, С.С. Петрова), операционное исчисление, теория расходящихся рядов и методы их суммирования (С.С. Петрова).

Возникший в начале 60-х гг. интерес к проблемам комбинаторного анализа способствовал появлению большого числа работ К.А. Рыбникова и его учеников по истории дискретной математики и комбинаторного анализа.

По-новому была осмыслена история античной математики. Основное внимание было перенесено с истории науки Древнего Вавилона и Египта на историю математики в Греции. В работах заслуженного профессора МГУ И.Г. Башмаковой и ее учеников античная математика стала рассматриваться как модель, изучая которую можно выявить причины возникновения, расцвета и упадка современной математики.

Изучение трудов Диофанта и истории диофантова анализа (И.Г. Башмакова, Г.С. Смирнова) позволило по-новому подойти ко многим вопросам истории математики. В настоящее время в связи с этим особое внимание уделяется развитию алгебры и теории чисел в Средние века, эпоху Возрождения и в XVII в.

Изучение проблем обоснования математики привело к исследованию общих исторических и логических закономерностей, истории математической логики (З.А. Кузичева, А.С. Кузичев). Особенное внимание в своей научной деятельности А.С. Кузичев уделяет вопросам математической логики и проблемам обоснования математики.

История математики и механики в России занимает важное место, при этом акцент переносится на изучение творчества математиков и механиков Московского университета. В особенности это касается работ московской школы дифференциальной геометрии (С.С. Демидов, Г.С. Смирнова) и Московской школы теории функций (С.С. Демидов, С.С. Петрова).

Развитие компьютерных технологий привело к появлению нового направления историко-математических исследований – создание биобиблиографических баз данных. Инициатором проекта стал К.А. Рыбников. С 1995 г. сотрудниками кабинета вместе с другими исследователями проводится необходимая работа по созданию базы данных о математиках и механиках Московского университета конца XIX–XX вв. (рук. проф. Н.Х. Розов).

За время существования кабинета было защищено 3 докторских диссертации (под руководством К.А. Рыбникова) и более 50 кандидатских диссертаций по различным вопросам истории математики и механики.

Университетские специалисты по истории математики и механики имеют высокий авторитет и пользуются заслуженным уважением в международном сообществе. И.Г. Башмакова с 1972 г. является действительным членом Международной академии истории науки. На последнем XX Международном конгрессе по истории науки (1997) С.С. Демидов был избран вице-президентом Международном академии истории науки. И.Г. Башмакова, С.С. Демидов и С.С. Петрова являются членами редколлегий ряда зарубежных историко-научных журналов.

 

Кафедра теории пластичности. Кафедра была создана в 1953 г. акад. АН СССР Ю.Н. Работновым. В свое время на кафедре работали: акад. АН СССР Ю.Н. Работнов, чл.-корр. АН СССР Л.А. Галин, проф. Г.С. Шапиро, проф. Н.И. Малинин, доц. А.П. Бронский. К чтению отдельных спецкурсов неоднократно приглашались профессора Л.И. Миркин, Д.Д. Ивлев, А.Л. Гольденвейзер, Г.П. Черепанов.

В настоящее время коллектив кафедры состоит из заведующего кафедрой проф. В.Д. Клюшникова, профессоров В.М. Александрова, Е.В. Ломакина, доцентов Р.И. Мазинга, Л.П. Исупова, А.М. Сахарова, асс. К.А. Хвостункова, научных сотрудников И.В. Овчинникова и Т.А. Беляковой.

На кафедре длительное время ведет педагогическую работу проф. С.А. Шестериков - зав. отделом НИИ механики МГУ.

Основные научные направления кафедры, существующие на данный момент, можно условно разбить на следующие разделы:

а) Пластичность. Анализ экспериментальных данных и, в частности, исследования по мгновенному модулю сдвига (Ю.Н. Работнов, В.Д. Клюшников) выдвинули проблему построения соотношений сингулярной пластичности – теории с особой точкой на поверхности нагружения. Опираясь на полученные ранее результаты – модельное представление (Ю.Н. Работнов) и привлечение гипотетического двумерного материала (В.Д. Клюшников) на кафедре разработана (В.Д. Клюшников, К.А. Хвостунков) программа компьютерной визуализации процесса пластического деформирования в рамках сингулярной теории пластичности, позволяющая наблюдать образование и изменение сингулярности на поверхности текучести в процессе пластического деформирования.

Проведен систематический анализ основных закономерностей перехода от локальных определяющих уравнений к соотношениям на макроуровне для неоднородных упруго-пластических сред в рамках теории течения (Л.П. Исупов). Получена общая формула осреднения неупругих деформаций. Сформулированы определяющие уравнения для двухфазной композитной среды с кусочно-гладкой поверхностью нагружения. Исследованы условия активного нагружения в пространстве макронапряжений. Установлено, что композит с идеально пластическими компонентами обладает ограниченным деформационным упрочнением, т. е. в пространстве макронапряжений существует предельная поверхность, которая определяет переход к идеально пластическому деформированию. Построены модели реальных композитных материалов с армирующими элементами различной формы. Исследованы свойства пластической анизотропии и особенности пластического деформирования композитных материалов.

Проведён (А.Н. Сахаров, Е.А. Давыдова) анализ задач пластического течения упрочняющихся, неоднородных и анизотропных материалов, позволивший выделить ограничения, накладываемые условием стационарности процесса деформирования на геометрию течения и свойства материалов. Установлены необходимые условия существования действительных характеристик для трехмерного течения упрочняющихся тел. Подобный анализ существенен при проектировании процессов обработки давлением новых конструкционных и композитных материалов.

б) Ползучесть. С момента возникновения кафедры на ней были развернуты систематические экспериментальные и теоретические исследования по ползучести металлов. Исследовано влияние пути кратковременного нагружения на длительную прочность при сложном напряженном состоянии. Дано теоретическое описание экспериментально обнаруженных эффектов с помощью векторного параметра поврежденности. Одним из новых направлений является изучение виброползучести материалов (С.А. Шестериков, А.М. Локощенко). Проведена серия экспериментов, позволившая оценить возможности предложенной теории виброползучести.

в) Разрушение. В последние годы научная деятельность кафедры связана с разработкой одного из фундаментальных направлений развития механики деформируемого твёрдого тела, заключающегося в создании математических теорий деформирования и разрушения сложных сред, к которым, прежде всего, относятся неоднородные среды, содержащие трещины, поры, включения и другие особенности структуры (Е.В. Ломакин).

При исследовании механических свойств данных материалов обнаружены некоторые эффекты, которые не могут быть описаны на основе существующих теорий деформирования и пластического течения. К таким эффектам относятся зависимость деформационных, пластических и прочностных свойств материалов от вида напряжённого состояния, создаваемого при нагружении, взаимосвязь процессов объёмного и сдвигового деформирования, а также возможность объёмного расширения при действии сжимающих напряжений. На основе анализа результатов экспериментальных исследований разработаны теории упругого и упругопластического деформирования данных материалов, позволяющие описать объемное расширение при сдвиге, а также при некоторых условиях нагружения, когда среднее нормальное напряжение сжимающее. При этом показано, что коэффициент взаимосвязи между объемной деформацией и эквивалентной сдвиговой деформацией зависит от условий нагружения и деформирования (Е.В. Ломакин).

Предложенная форма определяющих соотношений позволяет находить асимптотические решения вблизи вершин трещин. Исследовано напряжённо-деформированное состояние в окрестности макротрещин в средах, содержащих микроповреждения, применительно к условиям плоского напряженного состояния и плоской деформации. Полученные асимптотические решения задач свидетельствуют о том, что в условиях действия касательных напряжений вдали от трещины происходит раскрытие трещины, что вносит определенный вклад в объемную деформацию материала. Эти результаты принципиально отличаются от известных решений (Е.В. Ломакин, Т.А. Белякова).

Для анализа предельного состояния поврежденных тел разработана жёсткопластическая модель материала, позволяющая определять предельные нагрузки, а также значения предельной пластической объёмной деформации. На основе решения задач о пластическом течении тел при различных условиях нагружения показано, что связанная с наличием повреждений зависимость пластических свойств материала от вида напряженного состояния существенным образом изменяет значения предельных нагрузок (Е.В. Ломакин).

Проведен сравнительный анализ существующих нелокальных критериев прочности для условий плоского напряжённого состояния и плоской деформации (Л.П. Исупов). Предложен новый нелокальный критерий разрушения на основе линейной пластической зоны.

г) Механика контактных взаимодействий. В данное время на кафедре активно исследуются вопросы механики контактных взаимодействий слоистых тел с неидеальной связью между слоями. Рассмотрены контактные задачи для слоистого упругого основания в условиях неидеальной механической связи между слоями. Неидеальность возникает вследствие того, что между слоями, как правило, имеется тонкая прослойка из инородного материала. Неидеальность математически выражается тем, что вместо условий совпадения напряжений и перемещений на линиях контакта слоев необходимо ставить на этих линиях некоторые дифференциальные условия связи между напряжениями и перемещениями. Получены дифференциальные уравнения, описывающие связи между напряжениями и перемещениями для тонких относительно жестких и относительно мягких прослоек. Построены функции Грина для двухслойного основания с прослойкой между слоями, что затем позволило контактную задачу для такого основания свести к интегральному уравнению первого рода с симметричным ядром относительно неизвестного давления между штампом и поверхностью основания. Изучены свойства ядра указанного интегрального уравнения и на основании этого определена структура решения интегрального уравнения.

д) Устойчивость деформируемых систем. В рамках неклассических задач устойчивости деформируемых тел рассматривалась (В.Д. Клюшников, К.А. Хвостунков) проблема устойчивости упругих тонкостенных систем под действием массовых нагрузок, возникающих вследствие гравитационного взаимодействия частиц тела (самогравитация).

Кафедра проводит большую работу по подготовке специалистов высокой квалификации по механике деформируемого твердого тела. О широте научно-педагогической деятельности говорит перечень обязательных и специальных курсов. На кафедре читаются обязательные годовые курсы «Теория упругости» для студентов III курса, «Теория пластичности» для студентов IV курса и обязательный спецкурс по физике «Физическо-математические основы прочности и пластичности» для студентов V курса. В настоящее время читаются следующие спецкурсы по выбору студентов: «Наследственная механика твёрдого тела», «Механика композитных материалов», «Теория упругости анизотропного тела», «Устойчивость деформируемых систем», «Теория ползучести», «Механика разрушения», «Вариационные методы в механике деформируемого твёрдого тела», «Асимптотические методы», «Неклассические контактные задачи».

На кафедре работают учебные семинары по механике деформируемого твёрдого тела, программы которых охватывают дополнительные вопросы механики и систематически обновляются.

В среднем кафедра выпускает около 10 специалистов в год, некоторые из них рекомендуются в аспирантуру. Многие выпускники кафедры защищают кандидатские и докторские диссертации. Всего более 60 выпускников кафедры стали кандидатами, а 15 из них – докторами наук.

В 1999 г. заведующий кафедрой В.Д. Клюшников был удостоен званий «Заслуженный деятель науки России» и «Заслуженный профессор МГУ».

 

Кафедра теории упругости (зав. проф. И.А. Кийко). На кафедре работают 6 профессоров, 5 доцентов, 1 старший преподаватель, 2 старших научных сотрудника, 1 научный сотрудник.

Преподаватели кафедры читают лекции и ведут упражнения по основному курсу МСС для студентов отделений механики и математики; на кафедре читаются обязательные специальные курсы по теории упругости, теории пластичности, динамике упругопластических тел, физике твёрдого тела, методам теории упругости, теории конечных деформаций. Студентам предлагаются также специальные курсы и семинары по различным актуальным направлениям и дополнительным главам механики деформируемого твёрдого тела (вязкоупругость, термовязкопластичность, теория оболочек, прочность и накопление повреждений, вычислительные методы и компьютерные технологии в механике деформируемого твердого тела и др.). С участием сотрудников кафедры разработаны и проводятся на базе НИИ механики МГУ занятия физико-механического практикума по прочностному циклу для студентов отделения механики III и IV курсов. На кафедре работает научно-исследовательский семинар им. А.А. Ильюшина; проводятся научный и учебный семинары для аспирантов.

Научная работа кафедры в прошедшем году представлена следующими результатами.

Введена новая тензорная мера конечных деформаций, термодинамически сопряжённая тензору истинных напряжений Коши. Предложены варианты описания свойств материалов, находящихся в условиях воздействия различных физических полей, учитывающие структуру материалов и использующие несимметричные тензоры напряжений и деформаций. Построены классы определяющих соотношений вязкопластичности, удовлетворяющие условиям инвариантности по отношению к максимальной группе непрерывных преобразований. На основе представления общего решения уравнений теории упругости через скалярные гармонические функции смешанные задачи для многогранников, ограниченных минимальными поверхностями, приведены к классическим задачам теории потенциала. Разработана новая нелинейная теория повреждаемости наполненных полимерных материалов, позволяющая учитывать влияние напряжений, деформаций, температуры и рассеянной энергии на вязкоупругие характеристики материалов. Разработаны методики идентификации некоторых физических моделей сверхпластичности по результатам макроэксперимента.

Сформулированы новые постановки задач о панельном флаттере пологих оболочек и пластин при больших сверхзвуковых скоростях; разработан численно-аналитический метод без насыщения для исследования соответствующих задач на собственные значения; обнаружены новые механические эффекты, в частности, эффект стабилизации колебаний по отношению к флуктуации вектора скорости потока газа. Обозначены проблемы и сформулированы новые постановки задач в теории пластичности при больших деформациях в связи с развитием современной технологии обработки давлением. Рассмотрены связанные задачи сейсмодинамики применительно к совместным движениям протяженного трубопровода и грунта; установлена возможность явления резонанса. Построена методика оценки долговечности участков трубопроводов по амплитудно-частотной характеристике внутреннего давления, поперечных колебаниях надземного участка и др. параметрах.

Научные исследования, проводимые на кафедре, в 1999 г. поддерживались РФФИ; руководителями грантов РФФИ являлись проф. Г.Л. Бровко (механика неоднородных сред и анализ неоднородных структур) и проф. И.А. Кийко (поддержка ведущих научных школ).

Кафедра активно сотрудничает с отечественными и зарубежными научными центрами. Проф. Р.А. Васин руководит лабораторией механики в Институте проблем сверхпластичности металлов (г. Уфа, Башкирия); профессора И.А. Кийко и Р.А. Васин работали в составе оргкомитетов международных конференций по проблемам пластичности (г. Тула; г. Тверь); проф. Р.А. Васин участвовал в исследованиях по сверхпластичности в рамках научного сотрудничества с Индийским технологическим институтом (г. Канпур).

Профессора И.А. Кийко и Р.А. Васин были удостоены Государственных научных стипендий для выдающихся ученых России.

В августе 1999 г. отмечался 75-летний юбилей со дня рождения доц. И.В. Кеппена – одного из старейших сотрудников кафедры. Вернувшись с фронтов Великой Отечественной войны, И.В. Кеппен окончил учёбу на факультете и в аспирантуре, защитил диссертацию и с начала 60-х гг. работает на факультете. В течение многих лет он исполнял обязанности зам. декана по учебной работе. Как доцент И.В. Кеппен руководил курсовыми и дипломными работами, подготовил и прочитал ряд специальных курсов, в т.ч. на инженерном потоке.

 

Кафедра теории функций и функционального анализа (зав. чл.-корр. РАН П.Л. Ульянов). Кафедра образована в 1943 г.

Основные направления научно-исследовательской работы:

1) По действительному анализу разрабатываются: теория одномерных и кратных тригонометрических и ортогональных рядов (сходимость и суммируемость, свойства коэффициентов, теоремы представления и единственности, алгебры функций), теория приближений функций с помощью ортогональных, тригонометрических и алгебраических систем в одномерном и многомерном случае, теория интеграла, теоремы вложения, топологические и метрические свойства пространств функций, ряды по специальным системам функций (системы Хаара, Уолша, общие мультипликативные системы и др.), приложения в различных областях математики.

2) По комплексному анализу разрабатываются: полиномиальные, рациональные и гармонические аппроксимации функций, аппроксимации Паде и их применения, особые точки и граничные свойства функций и отображений (в т.ч. решений дифференциальных уравнений с частными производными и их систем), конформные отображения, экстремальные задачи в классах аналитических функций, комплексные многообразия и их вещественно аналитические подмногообразия (группы автоморфизмов, проблема классификации и др.), геометрические вопросы (оболочки голоморфности, комплексные структуры и пр.), разнообразные приложения.

3) По функциональному анализу разрабатываются: спектральная теория самосопряженных и несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (в частности, спектральная теория операторных пучков) и её применения к различным задачам математической физики, динамические системы и эргодическая теория, группы преобразований, теория банаховых и топологических алгебр, в т.ч. теория операторных алгебр, гомологическая алгебра, бесконечномерный и стохастический анализ: стохастические дифференциальные уравнения, формы Дирихле, исчисление Маллявэна, гладкие меры на бесконечномерных векторных пространствах и группах, бесконечномерные дифференциальные и псевдодифференциальные операторы, функциональные интегралы, квантование бесконечномерных гамильтоновых систем и другие задачи математической физики.

Ежегодно сотрудники кафедры читают студентам 8 обязательных курсов – комплексный анализ, действительный анализ, функциональный анализ, приложения теории функций и функционального анализа и другие; 9–12 специальных курсов – теория тригонометрических и ортогональных рядов, бесконечномерный анализ, многомерный комплексный анализ, теория операторов, теория гауссовских мер, аппроксимации Паде и др.

На кафедре постоянно работают более 20 научно-исследовательских спецсеминаров – научно-исследовательский семинар по теории функций действительного переменного, теория ортогональных и тригонометрических рядов, теория функций комплексного переменного, теория приближений, динамические системы, теория приближений и граничные свойства функций, несамосопряжённые операторы, избранные вопросы теории функций, дифференциальные уравнения и меры в бесконечномерных пространствах, бесконечномерный анализ, теория функций действительного переменного, алгебра в анализе, динамические системы и эргодическая теория, бесконечномерный анализ и стохастика, общий семинар по комплексному анализу, семинар по теории рассеяния, семинар по теории приближений аналитическими функциями, спецкурс по теории операторов, введение в бесконечномерный анализ и др.

За последние годы сотрудниками кафедры были получены следующие результаты: теоремы Б. Леви об абсолютной сходимости для тригонометрической системы перенесены на систему Хаара, где они получили совсем иной вид; полностью изучена связь между граничными свойствами полианалитических функций и граничными свойствами слагаемых ее канонического разложения; изучено асимптотическое поведение Lp-норм ортогональных многочленов, как следствия получены асимптотические формулы для энтропийных интегралов, содержащих такие многочлены; впервые решена задача вычисления энтропии функций распределения, содержащих ортогональные многочлены, пришедшая из информационной теории квантово-механических систем; в условиях сверхвысокой коразмерности вещественных подмногообразий комплексного пространства (когда нет невырожденных квадрик) построена модельная поверхность – полный аналог невырожденной квадрики. Это сняло все препятствия к использованию имевшейся технологии вычисления автоморфизмов и инвариантов таких подмногообразий, построения классификации, побочным результатом стало построение новой серии голоморфно однородных вещественно-алгебраических поверхностей. В терминах масс частиц найдено необходимое и достаточное условие треугольности рассеяния многочастичных систем на прямой. Доказано свойство наименьшего уклонения от нуля для многомерных многочленов Чебышева. Получено окончательное условие на функциональный класс в терминах модулей гладкости, обеспечивающее u-сходимость, обобщающую такие известные виды сходимости, как сходимость по Принсхейму, по сферам и т.д., рядов Фурье в метриках Lp(Tm), где 1£p£¥, p¹2 и m³2. Изучены индексы дефекта для обобщенных якобиевых матриц, в частности, получены критерии вполне неопределенности для этих матриц. Решена давняя задача Соболева: даны необходимые и достаточные условия устойчивости движения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью. Решена проблема Рохлина об автоморфизмах с непростым однородным спектром. Получен ряд критериев аппроксимации функций решениями эллиптических уравнений в нормах классических и абстрактных функциональных пространств. Полностью описаны проективные гильбертовы модули над С*-алгебрами и пространственно проективные С*-алгебры. Закончена гомологическая классификация С*-алгебр исходя из запаса проективных гильбертовых модулей над ними. Решена проблема Варадана о единственности инвариантной вероятности диффузионного процесса. Получена теорема о базисности Рисса собственных векторов спектральной задачи вида (А+V)y = l By, где A=A*>>0, 0<B<B*, а V - несамосопряженный оператор. Эта задача является абстрактной моделью известной задачи Орра-Зоммерфельда. Объяснено явление «спектрального галстука». Дана классификация (лиувиллева, траекторная и с точностью до сопряженности) геодезических потоков Лиувилля метрик на торе. Изучена взаимосвязь между обощенными классами Бесова-Никольского и Вейля-Никольского. Доказана теорема Лиувилля (о полной интегрируемости гамильтоновых систем) для систем Гамильтона-Дирака – гамильтоновых систем со связями. Доказана теорема о преобразовании гладких мер на бесконечномерных пространствах и многообразиях, содержащая в качестве частных случаев известные теоремы Камерона-Мартина-Гирсанова-Маруямы и Реймера. Дано новое доказательство трансцендентности числа p. Получены представления с помощью функциональных интегралов решений стохастических дифференциальных уравнений типа Шредингера (уравнений Беласкина). Получена оценка модулей непрерывности конформных отображений произвольных ограниченных жордановых областей друг на друга через модули колебания их границ. Отметим, что определение модуля колебания кривой – понятие чисто метрическое, и что упомянутая оценка содержательна в случае произвольных жордановых границ, включая и кривые положительной площади. Теорем такой общности не было (наиболее общий из имевшихся результатов касался спрямляемых кривых из очень узкого класса). Решена известная проблема А.Г. Витушкина об описании оболочек голоморфности поверхностей в двумерном проективном комплексном пространстве. Изучены чебышёвские подпространства в H1. Найдены необходимые и достаточные условия на модуль непрерывности w(d) и последовательность {t(n)}, чтобы множество функций Aw,t с обобщенно абсолютно сходящимся рядом Фурье-Хаара не изменялось после применения к ним преобразования класса Lip1. Получено новая дескриптивная характеристика интеграла Данжуа в терминах вариационной меры. Найдены необходимые и достаточные условия принадлежности рядов Уолша и Хаара классу рядов А-Фурье. Получены условия замкнутости мартингальных последовательностей, определяемых А-интегралом. Установлено свойство кратного перемешивания для потоков положительного локального ранга. Изучено невырожденное множество произвольной дробной размерности семейства операторов с совместным спектральном радиусом 1. Получены новые условия полноты ортогональных многочленов в L1(d). Изучены бесконечномерные эллиптические координаты в дискретном случае. Исследованы асимптотические свойства интегралов типа информационной энтропии от ортогональных многочленов. Для динамической модели бурения доказано непрерывная зависимость абсолютно-непрерывной инвариантной меры от параметров задачи. Предложено новое доказательство иррациональности числа z(3).

В 1999 г. были получены следующие результаты: впервые получена оценка модуля непрерывности конформного отображения произвольной жордановой области на другую область в чисто метрических терминах – через модули колебания граничных кривых; исследованы трехчленные рекуррентные соотношения с матричными элементами, получен критерий полной неопределенности соответствующей проблемы моментов; изучена дифракция волн на периодическую поверхность для уравнения Гельмгольца; описаны массы взаимодействующий частиц на прямой, обладающих треугольным отображением рассеяния; получены необходимые и достаточные условия приближаемости функций решениями эллиптических уравнений II порядка на плоских компактах; дано объяснение предельной локализации собственных значений задачи Орра-Зоммерфельда при стремлении к нулю вязкости в терминах квазиклассической асимптотики; получена теорема Фейнмана-Каца для уравнения Шредингера на компактном римановом многообразии; доказан аналог теоремы Банаха-Мазура для пространств с несимметричной нормой и даны приложения к выпуклому анализу; получено обобщение условия устойчивости Релея для несимметричного вязкого течения; найдены критерии, при которых ряд Уолша является рядом Фурье в смысле А-интеграла; изучено семейство мер, равновесных во внешнем поле; получены слабые асимптотики рациональных приближений функций Маркова-Стилтьеса; найдены новые семейства несимметричных операторов обобщенного сдвига и показаны их применения в теории приближений; найден близкий к наиболее широкому класс Ватермана, обеспечивающий u-сходимость ряда Фурье в каждой точке; доказана соболевская регулярность инвариантных мер на диффузионных процессах при минимальных предположениях о коэффициентах; изучено Lp-свойство решений сингулярных систем квазидифференциальных уравнений при возмущении их коэффициентов на множествах положительной меры; изучены условия интегрируемости динамических систем типа цепочек Тода.

В 1997–1999 гг. были опубликованы монография «Гауссовские меры» (проф. В.И. Богачёв), учебник «Мера и интеграл» (чл.-корр. РАН П.Л. Ульянов и проф. М.И. Дьяченко) и 12 учебных пособий.

 

Кафедра теории чисел (зав. проф. А.Б. Шидловский). В 1999 г. на кафедре работали 2 профессора, 3 доцента, 1 старший преподаватель и 1 ассистент.

Научная работа велась по теме «Теория чисел и её приложения». Доказаны теоремы о линейной и алгебраической независимости значений в алгебраических точках Е-функций, связанных алгебраическими уравнениями над полем рациональных функций и теорема об оценке модуля многочлена с целыми коэффициентами от значений таких функций.

Доказана оценка сверху кратности нуля в точке q=0 для многочленов от логарифмических производных тэта-констант, зависящая от степеней многочленов. В основе доказательства лежит описание в терминах тэта-констант общего решения некоторой системы алгебраических дифференциальных уравнений. Эта оценка позволяет упростить доказательство результатов об алгебраической независимости и методов доказательства алгебраической независимости решений линейных дифференциальных уравнений.

Получена формула, сводящая дискретное логарифмирование по составному модулю к случаю простого модуля при основании, не являющемся первообразным корнем. Предложены новые методы проверки разрешимости уравнения дискретного логарифмирования в некоторых конечных группах и алгоритмы решения этого уравнения.

Получены новые результаты о структуре тау-множеств. Доказаны новые оценки в задаче о распределении асимптотических направлений для наилучших приближений. Получены новые асимптотические оценки в задаче о системах общих представителей совокупности подмножеств конечного множества.

Сотрудники кафедры читали общий курс лекций «Теория чисел» для студентов IV курса, «Математический анализ» на подготовительном факультете, а также ряд спецкурсов, вели упражнения по теории чисел и по математическому анализу, руководили спецсеминарами.