Ломоносовская премия - 2014: И.Х.Сабитов

Представленный на соискание премии цикл работ можно разделить на две части. Первая – относится к дискретной геометрии и посвящена метрической теории многоугольников и многогранников, а вторая – дифференциальной геометрии поверхностей с акцентом на их метрические свойства.

В теории многогранников основным результатом является развитие нового направления «решение многоугольников и многогранников».

В 1996 г. была доказана т.н. гипотеза кузнечных мехов, утверждающая постоянство объёма изгибаемого многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве в ходе его изгибания. Доказательство получается как следствие обобщения формулы Герона для площади треугольника на объёмы многогранника, данного в виде следующей теоремы: объём любого многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем некоторого многочлена, определяемого только комбинаторным строением многогранника и длинами его рёбер. В отличие от теоремы Лежандра-Коши или теорем А.Д.Александрова, теорема об объёме относится ко всем многогранникам, независимо от их метрического, комбинаторного или внешнего строения, а не только к выпуклым, как у классиков. На её основе дано алгоритмическое решение всех основных классических задач этой теории.

В метрической теории поверхностей главное внимание уделено: а) изучению многообразий и поверхностей с локально-евклидовой метрикой; б) получению новых интегральных соотношений для компактных поверхностей, обобщающие классические формулы Гаусса-Бокне, Минковского, Бляшке и др., с их применением для исследований в первую очередь в теории изгибаний и бесконечно малых изгибаний поверхностей и для решения других известных или постановки новых задач; в) новым методам в классической задаче Бонне об изометричных поверхностях с общей средней кривизной, как в локальной, так и в глобальной постановке; г) исследованию бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения с уплощениями в полюсах, результаты которых дают некоторое продвижение в решении недоказанной до сих пор гипотезы Эйлера о неизгибаемости компактных поверхностей.

В 2013 г. был предложен эффективный метод вычисления объёмов тел в пространствах постоянной кривизны произвольной размерности с применением его к новому доказательству знаменитой формулы Шлефли.

Работы по локально-евклидовым метрикам являются естественным продолжением работ школы Александрова-Ефимова-Погорелова-Позняка, где изучались многообразия и поверхности с метрикой ненулевой знакопостоянной кривизны. Рассматриваются метрики и поверхности с нулевой кривизной, причём в минимальной гладкости. Для них либо доказаны аналоги классических результатов, либо дано решение некоторых задач с более чем 40 летней историей, либо решены недавно появившиеся оригинальные задачи.