Ломоносовская премия - 1980: В.А.Ильин

При весьма общих предположениях относительно спектра Ильин установил легко проверяемые необходимые и достаточные условия базисности произвольной полной и минимальной системы собственных и присоединённых функций общего несамосопряжённого обыкновенного дифференциального оператора любого порядка и полиноминального пучка типа Келдыша таких операторов.

Найденные им необходимые и достаточные условия базисности позволили обнаружить следующий принципиально новый факт: если общее число присоединённых функций в системе не является ограниченным (что имеет место, например, в системе, возникающей при изучении устойчивости турбулентной плазмы), то всегда существует такая полная, минимальная и каноническая в смысле Келдыша система собственных и присоединённых функций, которая не обладает свойством базисности. Ильин доказал вместе с тем, что в указанной ситуации всегда можно построить некоторую специальную систему, которая будет обладать свойством базисности всякий раз, когда это свойство имеется хотя бы при одном выборе собственных и присоединённых функций.

Был создан принципиально новый математический метод, при реализации которого не играет никакой роли конкретный вид краевых условий, а используется лишь самая общая информация о спектре и о поведении норм собственных и присоединённых функций данной системы и биортогонально сопряжённой к ней системы. Метод Ильина охватывает нелокальные, интегральные и даже нелинейные краевые условия, краевые условия, содержащие спектральный параметр, а также вырождающиеся операторы и операторы с разрывными коэффициентами.